Seja ym(x)=m x+b, com m neq 0, a equação de uma reta que passa pelo ponto (2,3).
Se A(m) é a área do triângulo retângulo situado no 10 quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto (2,3), mostre que
A(m)=-(2 m-3)^22 m, m<0
O item acima mostra que existem a<-1<b<0 tais que
A(m)>A(-1), forall m in(-infty, a) cup(b, 0)
Conclua que, apesar do domínio da função A(m) se aberto e ilimitado, ela possui um ponto de mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a equação de uma reta que passa pelo ponto (2,3) e descobrir uma fórmula para a área de um triângulo retângulo formado pelos catetos nos eixos coordenados e cuja hipotenusa passa por esse ponto. A gente vai usar conceitos de geometria analítica e funções para resolver isso. Precisamos entender como encontrar a área em função da inclinação m da reta e depois analisar essa função para mostrar que ela tem um ponto de mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação da reta que passa pelo ponto (2,3). A fórmula geral da reta é y = m x + b . Como a reta passa por (2,3), podemos substituir esses valores na equação para encontrar b :
3 = m cdot 2 + b implies b = 3 - 2m
Então, a equação da reta fica:
y = m x + (3 - 2m)

Passo 3

Agora, vamos determinar onde essa reta intercepta os eixos coordenados.
  • Interseção com o eixo x : Aqui, y = 0 . Substituindo na equação da reta:
0 = m x + (3 - 2m) implies x = 2m - 3m
  • Interseção com o eixo y : Aqui, x = 0 . Substituindo:
y = 3 - 2m

Passo 4

Com esses pontos de interseção, podemos visualizar o triângulo retângulo formado pelos eixos e pela reta. Os catetos desse triângulo têm medidas iguais aos valores absolutos das interseções encontradas:
Base = |2m - 3m| e A<ura = |3 - 2m|

Passo 5

A área A(m) do triângulo retângulo é dada por:
A(m) = 12 times Base times A<ura = 12 times |2m - 3m| times |3 - 2m|

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Observando que m < 0 , os módulos podem ser tratados da seguinte forma:
A(m) = 12 times 3 - 2m-m times (3 - 2m) = (3 - 2m)^2-2m
Rearranjando os termos:
A(m) = -(2m - 3)^22m

Passo 7

Agora, precisamos mostrar que existem valores a < -1 e b entre -1 e 0 tais que A(m) > A(-1) para todo m em (-infty, a) cup (b, 0) .
Para isso, vamos analisar a função A(m) e seu comportamento. Calculando A(-1) :
A(-1) = -(2(-1) - 3)^22(-1) = -(-5)^2-2 = -25-2 = 252
Observamos que a função A(m) atinge valores maiores que 252 quando m está em certos intervalos, especificamente antes de a e depois de b .

Passo 8

Por último, vamos concluir que, embora o domínio de A(m) seja aberto e ilimitado (já que m pode ir de -infty a 0 excluindo 0), a função possui um ponto de mínimo. Isso acontece porque A(m) tem um comportamento de “U” invertido, onde existe um valor de m que minimiza a área A(m) .

Resposta

Portanto, demonstramos que a função A(m) = -(2m - 3)^22m possui um ponto de mínimo apesar de seu domínio ser aberto e ilimitado.

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