(a) f(x, y)=x^2+y^2 ; P0=(2,1) ; v=(cos (pi6), sen(pi6))
(b) f(x, y)=ln (x^2+y^2) ; P0=(1,0) ; v=(cos (pi3), sen(pi3))
(c) f(x, y)=e^y cos x+e^x cos y ; P0=(0,0) ; v=(1,1)
(d) f(x, y, z)=3 x^2+y^2-4 z^2 ; P0=(1,1,1) ; v=(cos (pi3), cos (pi4), cos (2 pi3))
(e) f(x, y, z)=arcsec(x y z) ; P0=(1,1,2) ; v=(0,1,1)

Passo 1

Estamos calculando a derivada direcional de f no ponto P0 na direção do vetor v. Para isso usamos a fórmula
Dvf(P0) = nabla f(P0) cdot u,
onde u = v|v| é o vetor de direção unitário.

Passo 2

(a) f(x,y)=x^2+y^2.
nabla f=(2x,2y), logo em P0=(2,1) temos nabla f(2,1)=(4,2).
O vetor v=(cos(pi/6),sin(pi/6))=(tfracraiz32,tfrac12) já é unitário.
Dvf(2,1) =(4,2)cdotl(tfracraiz32,tfrac12r) =4cdottfracraiz32+2cdottfrac12 =2raiz3+1

Passo 3

(b) f(x,y)=ln(x^2+y^2).
nabla f=l(tfrac2xx^2+y^2,tfrac2yx^2+y^2r), em P0=(1,0) nabla f(1,0)=(2,0).
O vetor v=(cos(pi/3),sin(pi/3))=(tfrac12,tfracraiz32) é unitário.
Dvf(1,0) =(2,0)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r) =2cdottfrac12 =1

Passo 4

(c) f(x,y)=e^ycos x+e^xcos y.
fx=-e^ysin x+e^xcos y, fy=e^ycos x - e^xsin y
Em P0=(0,0) vem nabla f(0,0)=(1,1).
O vetor v=(1,1) tem norma raiz2, então u=(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2).
Dvf(0,0) =(1,1)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =tfrac1+1raiz2 =raiz2

Passo 5

(d) f(x,y,z)=3x^2+y^2-4z^2.
nabla f=(6x,2y,-8z), em P0=(1,1,1) fica nabla f(1,1,1)=(6,2,-8).
O vetor v=(cospi3,cospi4,cos2pi3)=(tfrac12,tfracraiz22,-tfrac12) é unitário.
Dvf(1,1,1) =(6,2,-8)cdotl(tfrac12,tfracraiz22,-tfrac12r) =6cdottfrac12+2cdottfracraiz22+(-8)cdotl(-tfrac12r) =3+raiz2+4 =7+raiz2

Passo 6

(e) . Seja .
Em temos , e
.
O vetor normalizado é .

Resposta

(a) 2raiz3+1
(b) 1
(c) raiz2
(d) 7+raiz2
(e) tfracraiz64

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