Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,2)=3 a^3-4 b+3 a b^2
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) partial fpartial x(1,2) e partial fpartial y(1,2).

Passo 1

O enunciado nos diz que f(x,y) é diferenciável e que, para todo vetor unitário vec u=(a,b),
Dvec uf(1,2)=3a^3-4b+3ab^2
Pede-se partial fpartial x(1,2) e partial fpartial y(1,2). Vamos usar a relação entre derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Pela definição de derivada direcional de uma função diferenciável:
Dvec uf(1,2)=nabla f(1,2)cdotvec u =partial fpartial x(1,2),a+partial fpartial y(1,2),b
Como vec u é unitário, vale a^2+b^2=1, então
3a^3+3ab^2=3a,(a^2+b^2)=3a
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Dvec uf(1,2)=3a-4b

Passo 3

Comparando
partial fpartial x(1,2),a+partial fpartial y(1,2),b=3a-4b
para todo (a,b), vemos que
partial fpartial x(1,2)=3 e partial fpartial y(1,2)=-4

Resposta

partial fpartial x(1,2)=3
partial fpartial y(1,2)=-4

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