Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado fornece a parametrização
com
Pede eliminar o parâmetro e obter a equação cartesiana, além de esboçar a curva e indicar a direção conforme
aumenta. O conteúdo é curvas paramétricas, exigindo uso do logaritmo para eliminar o expoente.
Passo 2
Isolar
a partir de
. Como
temos
Passo 3
Substituir em
.
Para expressar
em função de
, aplicamos o logaritmo natural:
Logo,
Passo 4
Analisar domínio e orientação. O domínio é
. As derivadas paramétricas são
logo, conforme
cresce, o ponto se desloca para a direita e para cima ao longo da curva.
Passo 5
Esboço qualitativo. A curva é o gráfico de
que tem assíntota vertical em
, passa por
e cresce lentamente para a direita. A seta no esboço deve apontar no sentido de aumento de
, isto é, para cima e para a direita.