Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=e^2 t, y=t+1

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização (x(t),y(t)) com
x = e^2t,
y = t + 1
Pede eliminar o parâmetro e obter a equação cartesiana, além de esboçar a curva e indicar a direção conforme t aumenta. O conteúdo é curvas paramétricas, exigindo uso do logaritmo para eliminar o expoente.

Passo 2

Isolar t a partir de y. Como
y = t + 1
temos
t = y - 1

Passo 3

Substituir em x.
x = e^2t = e^2(y-1) = e^-2,e^2y
Para expressar y em função de x, aplicamos o logaritmo natural:
ln x = lnl(e^2(y-1)r) = 2(y-1)
Logo,
y - 1 = tfrac12ln x Longrightarrow y = 1 + tfrac12ln x

Passo 4

Analisar domínio e orientação. O domínio é x>0. As derivadas paramétricas são
dxdt = 2e^2t > 0, dydt = 1 > 0,
logo, conforme t cresce, o ponto se desloca para a direita e para cima ao longo da curva.

Passo 5

Esboço qualitativo. A curva é o gráfico de
y = 1 + tfrac12ln x,
que tem assíntota vertical em x=0, passa por (1,1) e cresce lentamente para a direita. A seta no esboço deve apontar no sentido de aumento de t, isto é, para cima e para a direita.

Resposta

y = 1 + tfrac12 ln x, x>0

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