Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=sin t, y=csc t, 0<t<pi2

Passo 1

Temos a curva paramétrica
x=sin t, y=csc t,
com 0<t<tfracpi2. O objetivo é eliminar t, encontrando uma relação direta entre x e y, e depois esboçar o ramo resultante e indicar para onde a curva se move quando t aumenta.

Passo 2

Observe que
x=sin t
implica
sin t = x
Como 0<t<tfracpi2, temos sin t>0, logo xin(0,1).

Passo 3

Usando sin t=x na definição de y,
y=csc t = 1sin t = 1x

Passo 4

Portanto a equação cartesiana é
y=1x,
com domínio restrito a
0<x<1,
o que também implica y>1.

Passo 5

Esboço do ramo de hipérbole no primeiro quadrante, apenas para :
\quad
A seta mostra que, quando cresce de a , o ponto sai do infinito em (com ) e vai descendo no ramo até chegar em .

Resposta

y=1x, 0<x<1,
com a curva percorrida de cima (próximo de x=0, yto+infty) para o ponto (1,1) à medida que t aumenta.

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