Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x=e^-t+t, y=e^-t-t, -2 <= t <= 2

Passo 1

Temos uma curva paramétrica dada por x=e^-t+t, y=e^-t-t para -2<= t<=2. O conteúdo aqui é esboço de curva paramétrica: vamos precisar marcar pontos representativos no plano e indicar a direção em que a curva é traçada conforme t cresce.

Passo 2

Para escolher pontos representativos, calculemos (x,y) em alguns valores de t: Para t=-2, temos e^-(-2)=e^2approx7.389, logo (x,y)approx(7.389-2,7.389+2)=(5.389,9.389). Para t=-1, e^1approx2.718, (x,y)approx(2.718-1,2.718+1)=(1.718,3.718). Para t=0, (x,y)=(1,1). Para t=1, e^-1approx0.368, (x,y)approx(1.368,-0.632). Para t=2, e^-2approx0.135, (x,y)approx(2.135,-1.865).

Passo 3

Para saber a direção em que a curva se move conforme t cresce, calculamos as derivadas:
dxdt=-e^-t+1, dydt=-e^-t-1
O vetor tangente é (dx/dt,dy/dt). Por exemplo, em t=0 temos (dx/dt,dy/dt)=(0, -2), apontando para baixo. No geral, o sinal dessas quantidades mostra que a curva vai do ponto em t=-2 rumo ao ponto em t=2.

Passo 4

Desenhe no plano cartesiano os pontos calculados e una-os com uma curva suave, respeitando que conforme t aumenta a trajetória vai de (5.389,9.389) para (1.718,3.718), depois (1,1), (1.368,-0.632) e finalmente (2.135,-1.865). Marque uma seta ao longo da curva apontando nesse sentido, indicando o crescimento de t.

Resposta

O esboço passa aproximadamente por (5.389, 9.389) em t=–2, depois (1.718, 3.718), (1, 1), (1.368, –0.632) e termina em (2.135, –1.865) em t=2. A seta deve apontar desse primeiro para o último ponto, indicando o sentido de aumento de t.

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