O enunciado pede os limites das funções de duas variáveis quando . O conteúdo é cálculo de limites em várias variáveis, e vamos usar principalmente o teorema do aperto (para mostrar que um limite é zero) e busca de trajetórias (para mostrar que não existe limite).
Passo 2
Para
usamos que . Assim
l|x,sin!l(tfrac1x^2+y^2r)r|<=|x|
Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), segue pelo teorema do aperto que o limite é 0.
Passo 3
Para
(b) lim(x,y)to(0,0) x+yx-y,
testamos retas y=mx. Nesse caso
x+mxx-mx=1+m1-m,
que depende de m. Por exemplo, em y=0 (m=0) dá 1, em y=2x (m=2) dá -3. Como o valor varia conforme a trajetória, o limite não existe.
Passo 4
Para
(c) lim(x,y)to(0,0) x,y,y - x^3,,
tomamos a curva y=x^3+x^4. Então
x,(x^3+x^4)(x^3+x^4)-x^3 =x^4+x^5x^4 =1+x;longrightarrow1 quando xto0
Por outro lado, em y=0 dá 0. Valores diferentes implicam que o limite não existe.
Passo 5
Para
(d) lim(x,y)to(0,0) x,y^2,x^2-y^2,,
testamos a curva y=x+x^2. Então
x,(x+x^2)^2x^2-(x+x^2)^2 =x^3+2x^4+x^5-2x^3-x^4 longrightarrow -tfrac12 quando xto0
Porém em retas y=mx com mneqpm1 o quociente tende a 0. Como aparecem limites diferentes, o limite não existe.
Resposta
(a) 0
(b) não existe
(c) não existe
(d) não existe