Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado.
x=3+2 cos t, y=1+2 sin t, pi2 <= t <= 3 pi2

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=3+2cos t, y=1+2sin t, pi2<= t<=3pi2,
que definem uma curva no plano. O conteúdo é curva paramétrica e movimento circular.

Passo 2

Para identificar forma, centro e raio, escrevemos a equação implícita. Basta isolar o cosseno e o seno:
x-3=2cos t, y-1=2sin t
e somar o quadrado:
(x-3)^2+(y-1)^2 = 4(cos^2 t+sin^2 t) = 4
Logo, é um círculo de centro (3,1) e raio 2.

Passo 3

Determinamos os pontos inicial, intermediário e final:
t=pi2;Rightarrow;(x,y)=(3+2cdot0,;1+2cdot1)=(3,3),
t=pi;Rightarrow;(x,y)=(3+2cdot(-1),;1+2cdot0)=(1,1),
t=3pi2;Rightarrow;(x,y)=(3+2cdot0,;1+2cdot(-1))=(3,-1)
A partícula vai de (3,3) até (3,-1) passando por (1,1).

Passo 4

Para achar o sentido e se o movimento é uniforme, calculemos a velocidade:
dxdt = -2sin t, dydt = 2cos t
v = raizl(-2sin tr)^2 + l(2cos tr)^2 = raiz4(sin^2 t+cos^2 t) = 2,
constante. Como t aumenta de tfracpi2 a tfrac3pi2, o ângulo polar vai de 90^circ a 270^circ, ou seja, a partícula percorre o semicírculo esquerdo do círculo no sentido anti-horário (de cima para baixo).

Passo 5

Em resumo: a partícula executa um movimento circular uniforme de raio 2 em torno do ponto (3,1), com velocidade constante de módulo 2, descrevendo o semicírculo esquerdo do ponto inicial (3,3) até o ponto final (3,-1) no sentido anti-horário.

Resposta

A partícula descreve, com velocidade constante 2, o semicírculo esquerdo do círculo (x-3)^2+(y-1)^2=4, indo de (3,3) a (3,-1) no sentido anti-horário.

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