para todo vetor unitário . Determine: vetores unitários e v2 para os quais a derivada direcional é máxima e mínima, respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá a derivada direcional de uma função diferenciável f(x,y) no ponto (1,2) em qualquer direção unitária u=(a,b) como Duf(1,2)=3a^3-4b+3ab^2. O conteúdo é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a relação Duf(1,2)=nabla f(1,2)cdotu.
Passo 2
A expressão dada não parece linear à primeira vista, mas note que
3a^3+3ab^2=3a,(a^2+b^2)
Passo 3
Como u=(a,b) é unitário, temos a^2+b^2=1, então
3a^3+3ab^2=3a
Passo 4
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Duf(1,2)=3a-4b,
e isso deve ser igual a nabla f(1,2)cdot(a,b)=fx(1,2),a+fy(1,2),b
Passo 5
Comparando, obtemos fx(1,2)=3 e fy(1,2)=-4, isto é, nabla f(1,2)=(3,-4)
Passo 6
Para derivada direcional máxima, a direção é a do gradiente; para mínima, a direção oposta. Normalize (3,-4):
|nabla f(1,2)|=raiz3^2+(-4)^2=5
Passo 7
Então os vetores unitários buscados são
v1=15(3,-4),v2=15(-3,4)
Resposta
Usando a normalização, temos
v₁=(3/5, −4/5) como direção de derivada máxima
v₂=(−3/5, 4/5) como direção de derivada mínima