Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,2)=3 a^3-4 b+3 a b^2
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) vetores unitários v1 e v2 para os quais a derivada direcional é máxima e mínima, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a derivada direcional de uma função diferenciável f(x,y) no ponto (1,2) em qualquer direção unitária u=(a,b) como Duf(1,2)=3a^3-4b+3ab^2. O conteúdo é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a relação Duf(1,2)=nabla f(1,2)cdotu.

Passo 2

A expressão dada não parece linear à primeira vista, mas note que
3a^3+3ab^2=3a,(a^2+b^2)

Passo 3

Como u=(a,b) é unitário, temos a^2+b^2=1, então
3a^3+3ab^2=3a

Passo 4

Logo
Duf(1,2)=3a-4b,
e isso deve ser igual a
nabla f(1,2)cdot(a,b)=fx(1,2),a+fy(1,2),b

Passo 5

Comparando, obtemos fx(1,2)=3 e fy(1,2)=-4, isto é,
nabla f(1,2)=(3,-4)

Passo 6

Para derivada direcional máxima, a direção é a do gradiente; para mínima, a direção oposta. Normalize (3,-4):
|nabla f(1,2)|=raiz3^2+(-4)^2=5

Passo 7

Então os vetores unitários buscados são
v1=15(3,-4),v2=15(-3,4)

Resposta

Usando a normalização, temos
v₁=(3/5, −4/5) como direção de derivada máxima
v₂=(−3/5, 4/5) como direção de derivada mínima

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