Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condições:
- Está contido no interior do cilindro
e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
- Está abaixo do plano
.
- Está entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante, dentro do cilindro
, limitado pelos planos
e
, e abaixo do plano
. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas:
-
, , - O elemento de volume é
.
Passo 2
Convertemos cada superfície em coordenadas cilíndricas e identificamos os limites:
- Cilindro
vira . - Plano
é . - Plano
é . - Plano
é . - Primeiro octante implica
, , e entre e .
Passo 3
Montamos a integral tripla
Integramos primeiro em
:
Passo 4
Agora em
:
Passo 5
Por fim em
:
Resposta
O volume do sólido é
.