Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condições:
  • Está contido no interior do cilindro x^2+y^2=1 e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
  • Está abaixo do plano 6 x+6 y-z=0.
  • Está entre os planos x-y=0 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante, dentro do cilindro x^2+y^2=1, limitado pelos planos x=0 e x - y = 0, e abaixo do plano 6x+6y - z = 0. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas:
  • x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
  • O elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Convertemos cada superfície em coordenadas cilíndricas e identificamos os limites:
  1. Cilindro x^2+y^2=1 vira r = 1.
  2. Plano x=0 é theta = tfracpi2.
  3. Plano x - y = 0 é theta = tfracpi4.
  4. Plano 6x+6y - z=0 é z = 6(x+y)=6r(costheta+sintheta).
  5. Primeiro octante implica r>=0, z>=0, e theta entre tfracpi4 e tfracpi2.

Passo 3

Montamos a integral tripla
V ;=;integraltheta=pi/4^pi/2 integralr=0^1 integralz=0^6r(costheta+sintheta) r,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z:
integral0^6r(costheta+sintheta) r,dz = rcdotl[,z;r]0^6r(costheta+sintheta) =6r^2(costheta+sintheta)

Passo 4

Agora em r:
integral0^16r^2(costheta+sintheta),dr =6(costheta+sintheta)integral0^1r^2dr =6(costheta+sintheta)cdot13 =2(costheta+sintheta)

Passo 5

Por fim em theta:
V = integralpi/4^pi/22l(costheta+sinthetar),dtheta =2l[sintheta - costhetar]pi/4^pi/2 =2l[(1-0)-(tfracraiz22-tfracraiz22)r] =2cdot1 =2

Resposta

O volume do sólido é 2.

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