Considere a função . Classifique os pontos críticos como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar os pontos críticos e classificá-los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar a definição de ponto crítico (gradiente nulo) e o teste da matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Um ponto crítico satisfaz e .
Passo 3
Resolvendo o sistema
da primeira equação obtemos
y=-x^22,
e da segunda
x=y^22
Substituindo y=-x^2/2 em x=y^2/2 dá
x=( -x^2/2 )^22=x^48 Longrightarrow xl(1-x^38r)=0
logo x=0 ou x^3=8Rightarrow x=2. Isso gera os pontos críticos
(0,0) e (2,-2)
Passo 4
Para classificar usamos a matriz Hessiana, cujos elementos são