Considere a função f(x, y)=x^3-y^3+6 x y+2.
(1,5) Classifique os pontos críticos como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^3-y^3+6xy+2
e pede para encontrar os pontos críticos e classificá-los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar a definição de ponto crítico (gradiente nulo) e o teste da matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx=partial fpartial x=3x^2+6y, fy=partial fpartial y=-3y^2+6x
Um ponto crítico satisfaz fx=0 e fy=0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
3x^2+6y=0, -3y^2+6x=0,
da primeira equação obtemos
y=-x^22,
e da segunda
x=y^22
Substituindo y=-x^2/2 em x=y^2/2
x=( -x^2/2 )^22=x^48 Longrightarrow xl(1-x^38r)=0
logo x=0 ou x^3=8Rightarrow x=2. Isso gera os pontos críticos
(0,0) e (2,-2)

Passo 4

Para classificar usamos a matriz Hessiana, cujos elementos são
fxx=6x, fxy=6, fyy=-6y
O discriminante da Hessiana é
D=fxxfyy- (fxy)^2

Passo 5

Avaliando em (0,0):
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, D(0,0)=0cdot0-6^2=-36<0,
portanto (0,0) é ponto de sela.
Avaliando em (2,-2):
fxx(2,-2)=12, fyy(2,-2)=12, D(2,-2)=12cdot12-6^2=144-36=108>0
Como D>0 e fxx=12>0, (2,-2) é mínimo local.

Resposta

(0,0) ponto de sela.
(2,-2) mínimo local.

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