a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando a definição componente a componente em
, que valem as propriedades de espaço vetorial:
- associatividade da adição (item a),
- existência do inverso aditivo e comutatividade que leva ao vetor nulo (item b),
- distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores (item c) e
- associatividade da multiplicação escalar (item d).
Para isso, vamos escrever, , e usar que
Passo 2
Prova da associatividade da adição (item a).
Pela definição componente a componente, temos para cada :
Pela definição componente a componente, temos para cada
Como a adição de números reais é associativa,
Logo
Passo 3
Prova do inverso aditivo e do vetor nulo (item b).
Defina o inverso de por
. Então para cada
:
Defina o inverso de
Assim
Passo 4
Prova da distributividade escalar sobre soma de vetores (item c).
Para cada :
Para cada
Portanto
Passo 5
Prova da associatividade da multiplicação escalar (item d).
Para cada :
Para cada
Logo
Resposta
Concluímos que, em
com operações definidas componente a componente, valem exatamente as igualdades:
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.