a. (u+v)+w=u+(v+w)
b. u+(-u)=(-u)+u=0
c. c(u+v)=c u+c v
d. c(d u)=(c d) u

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando a definição componente a componente em R^n, que valem as propriedades de espaço vetorial:
  • associatividade da adição (item a),
  • existência do inverso aditivo e comutatividade que leva ao vetor nulo (item b),
  • distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores (item c) e
  • associatividade da multiplicação escalar (item d).
    Para isso, vamos escrever u=(u1,dots,un), v=(v1,dots,vn), w=(w1,dots,wn) e usar que
(x+y)i = xi + yi, (c,x)i = c,xi

Passo 2

Prova da associatividade da adição (item a).
Pela definição componente a componente, temos para cada i:
((u+v)+w)i = (ui+vi)+wi e (u+(v+w))i = ui+(vi+wi)
Como a adição de números reais é associativa,
(ui+vi)+wi = ui+(vi+wi)
Logo
(u+v)+w = u+(v+w)

Passo 3

Prova do inverso aditivo e do vetor nulo (item b).
Defina o inverso de u por -u=(-u1,dots,-un). Então para cada i:
(u+(-u))i = ui + (-ui) = 0,
((-u)+u)i = -ui + ui = 0
Assim u+(-u) = (-u)+u = (0,dots,0)=0

Passo 4

Prova da distributividade escalar sobre soma de vetores (item c).
Para cada i:
(c(u+v))i = c,(ui+vi) = c,ui + c,vi = (cu+cv)i
Portanto
c(u+v) = cu+cv

Passo 5

Prova da associatividade da multiplicação escalar (item d).
Para cada i:
(c(d,u))i = c,(d,ui) = (c,d),ui = ((c,d),u)i
Logo
c(d,u) = (c,d),u

Resposta

Concluímos que, em R^n com operações definidas componente a componente, valem exatamente as igualdades:
a. (u+v)+w=u+(v+w)
b. u+(-u)=(-u)+u=0
c. c(u+v)=cu+cv
d. c(d,u)=(c,d),u

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