Faça uma descrição geométrica de Spanv1, v2 para os vetores do Exercício 17.
Faça uma descrição geométrica de Spanv1, v2 para os vetores do Exercício 16.
Passo 1
O exercício 19 pede uma descrição geométrica de Spanv1,v2 para os vetores do Exercício 17, onde
v1=26-4, v2=-3-96
O exercício 20 pede a mesma descrição para os vetores do Exercício 16, onde
v1=-201, v2=102
Vamos usar os conceitos de dependência linear e dimensão do span.
Passo 2
Verificamos no Exercício 17 se v2 é múltiplo de v1. Buscamos lambda tal que
v2 = lambda,v1
Comparando componentes: -3 = lambdacdot 2 dá lambda=-tfrac32. -9 = lambdacdot 6 também dá lambda=-tfrac32. 6 = lambdacdot(-4) dá lambda=-tfrac32.
Como todas batem, v2 = -tfrac32,v1.
Passo 3
Quando um vetor é múltiplo do outro, v1 e v2 são linearmente dependentes e
Spanv1,v2 = alpha,v1 mid alphainR,
que é uma reta passando pela origem com direção v1.
Passo 4
No Exercício 16, testamos se há combinação linear não trivial que zere
vemos que o sistema
implica , logo .
Passo 5
Como só há a solução trivial, v1 e v2 são linearmente independentes. Ambos têm segunda coordenada zero, então todo vetor de Spanv1,v2 tem forma (x,0,z). Isso mostra que o span é o plano y=0 em R^3.
Resposta
Para o Exercício 17, Spanv1,v2 é uma reta em R^3 passando pela origem com direção 26-4.
Para o Exercício 16, Spanv1,v2 é o plano definido por y=0 em R^3, ou seja, o plano xz.