- a. A equação
é chamada de uma equação vetorial.
b. O vetor
é uma combinação linear das colunas de uma matriz
se e somente se a equação
tem pelo menos uma solução.
c. A equação
é possível se a matriz completa
b] tem uma posição de pivô em cada linha.
d. A primeira componente do produto
é uma soma de produtos.
e. Se as colunas de uma matriz
, geram o
, então a equação
é possível para cada b do
.
f. Se
é uma matriz
e se a equação
é impossível para algum
do
, então
não pode ter uma posição de pivô em cada linha.
b. O vetor
c. A equação
d. A primeira componente do produto
e. Se as colunas de uma matriz
f. Se
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre a equação vetorial
em Álgebra Linear, envolvendo conceitos de combinação linear, consistência do sistema, pivôs e geração de
. Vamos verificar a veracidade de cada uma.
Passo 2
Afirmação (a): “A equação
é chamada de uma equação vetorial.”
Isto é apenas a definição de equação vetorial em Álgebra Linear. Logo, (a) é verdadeira.
Isto é apenas a definição de equação vetorial em Álgebra Linear. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “O vetor
é uma combinação linear das colunas de uma matriz
se e somente se a equação
tem pelo menos uma solução.”
Pela definição de combinação linear e pelo fato de que cada solução de produz exatamente uma combinação das colunas de
, a equivalência é exata. Logo, (b) é verdadeira.
Pela definição de combinação linear e pelo fato de que cada solução de
Passo 4
Afirmação (c): “A equação
é possível se a matriz completa
tem uma posição de pivô em cada linha.”
Na verdade, consistência exige que não haja linha do tipo com
. Ter pivô em cada linha de
incluiria pivô na coluna de
, o que corresponderia a uma linha impossível
. A condição correta é pivô em cada linha de
, não de
. Portanto, (c) é falsa.
Na verdade, consistência exige que não haja linha do tipo
Passo 5
Afirmação (d): “A primeira componente do produto
é uma soma de produtos.”
De fato, , ou seja, soma de produtos. Logo, (d) é verdadeira.
De fato,
Passo 6
Afirmação (e): “Se as colunas de uma matriz
,
, geram o
, então a equação
é possível para cada
.”
Esta é a definição de gerar o espaço: todo é combinação linear das colunas. Assim, (e) é verdadeira.
Esta é a definição de gerar o espaço: todo
Passo 7
Afirmação (f): “Se
é uma matriz
e se a equação
é impossível para algum
, então
não pode ter uma posição de pivô em cada linha.”
O pivô em cada linha de garantiria consistência para todo
. A existência de um
impossível implica ausência de pivô em alguma linha. Logo, (f) é verdadeira.
O pivô em cada linha de
Resposta
As afirmações verdadeiras são: (a), (b), (d), (e) e (f).