1. a. A equação A x=b é chamada de uma equação vetorial.
    b. O vetor b é uma combinação linear das colunas de uma matriz A se e somente se a equação A x =b tem pelo menos uma solução.
    c. A equação A x=b é possível se a matriz completa [A b] tem uma posição de pivô em cada linha.
    d. A primeira componente do produto A x é uma soma de produtos.
    e. Se as colunas de uma matriz A, m times n, geram o R^m, então a equação A x=b é possível para cada b do R^m.
    f. Se A é uma matriz m times n e se a equação A x=b é impossível para algum b do R^m, então A não pode ter uma posição de pivô em cada linha.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre a equação vetorial ,Ax=b, em Álgebra Linear, envolvendo conceitos de combinação linear, consistência do sistema, pivôs e geração de R^m. Vamos verificar a veracidade de cada uma.

Passo 2

Afirmação (a): “A equação Ax=b é chamada de uma equação vetorial.”
Isto é apenas a definição de equação vetorial em Álgebra Linear. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “O vetor b é uma combinação linear das colunas de uma matriz A se e somente se a equação Ax=b tem pelo menos uma solução.”
Pela definição de combinação linear e pelo fato de que cada solução de Ax=b produz exatamente uma combinação das colunas de A, a equivalência é exata. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “A equação Ax=b é possível se a matriz completa [Amid b] tem uma posição de pivô em cada linha.”
Na verdade, consistência exige que não haja linha do tipo [0;dots;0mid beta] com betaneq 0. Ter pivô em cada linha de [Amid b] incluiria pivô na coluna de b, o que corresponderia a uma linha impossível (0=1). A condição correta é pivô em cada linha de A, não de [Amid b]. Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “A primeira componente do produto Ax é uma soma de produtos.”
De fato, l(Axr)1 = a11x1 + a12x2 + dots + a1nxn, ou seja, soma de produtos. Logo, (d) é verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “Se as colunas de uma matriz A, mtimes n, geram o R^m, então a equação Ax=b é possível para cada binR^m.”
Esta é a definição de gerar o espaço: todo b é combinação linear das colunas. Assim, (e) é verdadeira.

Passo 7

Afirmação (f): “Se A é uma matriz mtimes n e se a equação Ax=b é impossível para algum binR^m, então A não pode ter uma posição de pivô em cada linha.”
O pivô em cada linha de A garantiria consistência para todo b. A existência de um b impossível implica ausência de pivô em alguma linha. Logo, (f) é verdadeira.

Resposta

As afirmações verdadeiras são: (a), (b), (d), (e) e (f).

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