Uma idéia fundamental da álgebra linear é a de ver uma combinação linear de vetores como um produto de uma matriz com um vetor. A seguinte definição nos permitirá reescrever alguns dos conceitos da Seção 1.3 de novas formas.
1.4 EXERCÍCIOS
Calcule os produtos nos Exercícios 1-6 usando (i) a definição, como no Exemplo 1, e (ii) a regra para o cálculo de . Determine se o produto está definido ou não.
[rr4 & 1 2 & -5 0 & 6][l5 2]
[rrr5 & 2 & 1 -4 & 4 & 7][l1 1 1]
[rr3 & -8 -1 & 5 2 & -3][r-4 1 0]
[r-2 9 0][lr s]
[lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0][cr s t]
Passo 1
O enunciado pede para calcular seis produtos do tipo Ax, usando duas abordagens:
Pela definição de combinação linear de colunas: Ax = x1a1+x2a2+cdots+xnan, onde aj é a coluna j de A.
Pela regra de multiplicação linha-por-coluna: cada componente i de Ax é o produto escalar da linha i de A com o vetor x.
Também devemos verificar se o produto está definido, o que exige que o número de colunas de A seja igual ao número de entradas de x.
Passo 2
Exercício 1: A é 2times2 e x tem 2 entradas, logo o produto está definido.
Usando a definição de combinação de colunas:
A=2&43&5, x=5-3,
as colunas de A são a1=(2,3)^T e a2=(4,5)^T, então
Ax =5,a1 +(-3),a2 =523 -345 =10-1215-15 =-20
Usando linha-por-coluna:
1ª componente: 2cdot5 + 4cdot(-3)=10-12=-2, 2ª componente: 3cdot5 + 5cdot(-3)=15-15=0 ªª
Passo 3
Exercício 2: A é 3times2 e x tem 2 entradas, produto definido.
Colunas a1=(4,2,0)^T, a2=(1,-5,6)^T e x=(5,2)^T, então
Ax =5,a1 + 2,a2 =20+210-100+12 =22012
Pela regra linha-por-coluna obtenho os mesmos valores: ,4cdot5+1cdot2=22,;2cdot5+(-5)cdot2=0,;0cdot5+6cdot2=12
Passo 4
Exercício 3: A é 2times3 e x tem 3 entradas, produto definido.
Colunas a1=(5,-4)^T, a2=(2,4)^T, a3=(1,7)^T e x=(1,1,1)^T, logo
Ax =1cdota1 +1cdota2 +1cdota3 =5+2+1-4+4+7 =87
Passo 5
Exercício 4: A é 3times2 e x tem 3 entradas, mas 2neq3.
Logo o produto Axnão está definido.
Passo 6
Exercício 5: A é 3times1 e x tem 2 entradas, mas 1neq2.
Portanto Axnão está definido.
Passo 7
Exercício 6: é e tem 3 entradas, produto definido.