(a) V=(R^3,+, , R) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0 ;
(b) V=(R^3,+, , R) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z <= 1;
(c) V=(M3 times 3(R),+, , R) W=A in M3 times 3 ; A=A^T;
(d) V=(M2 times 2,+, , R) W=A in M2 times 2 ; det A=0.

Passo 1

O enunciado traz quatro casos em que temos um espaço vetorial V sobre R e um subconjunto Wsubseteq V, e pede para decidir em cada caso se W é subespaço de V. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais. Para resolver vamos usar as três condições necessárias e suficientes para W ser subespaço de V.

Passo 2

Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e só se:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se uin W e cinR então c,uin W.

Passo 3

Caso (a): W=(x,y,z)inR^3; x+y+z=0.
  1. O zero (0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, logo está em W.
  2. Se (x1+y1+z1)=0 e (x2+y2+z2)=0 então
    (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0+0=0, então u+vin W.
  3. Para cinR, c(x+y+z)=ccdot 0=0, logo c,uin W.
    Logo, em (a) W é subespaço.

Passo 4

Caso (b): W=(x,y,z)inR^3; x+y+z<=1.
  1. O zero satisfaz 0+0+0<=1, então 0in W.
  2. Mas se u,vin W temos (x1+y1+z1)<=1 e (x2+y2+z2)<=1, então
    (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)<=2, o que pode ser >1. Falha a adição.
    Portanto, em (b) W não é subespaço.

Passo 5

Caso (c): W=Ain M3times3(R);A=A^T (matrizes simétricas).
  1. A matriz zero é simétrica.
  2. Soma de duas simétricas é simétrica.
  3. Escalar vezes simétrica continua simétrica.
    Logo, W satisfaz as três condições e em (c) é subespaço.

Passo 6

Caso (d): W=Ain M2times2(R);det A=0 (matrizes singulares).
  1. A matriz zero tem determinante zero, então 0in W.
  2. Contudo, soma de duas matrizes singulares pode ter determinante não nulo (por exemplo A=1&00&0, B=0&00&1 e A+B=I). Falha a adição.
    Logo, em (d) W não é subespaço.

Resposta

(a) W é subespaço de V
(b) W não é subespaço de V
(c) W é subespaço de V
(d) W não é subespaço de V

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