(a)
(b)
;
(c)
;
(d)
.
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado traz quatro casos em que temos um espaço vetorial
sobre
e um subconjunto
, e pede para decidir em cada caso se
é subespaço de
. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais. Para resolver vamos usar as três condições necessárias e suficientes para
ser subespaço de
.
Passo 2
Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e só se:
- O vetor zero de
está em . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Passo 3
Caso (a):
.
- O zero
satisfaz , logo está em . - Se
e então
, então . - Para
, , logo .
Logo, em (a)é subespaço.
Passo 4
Caso (b):
.
- O zero satisfaz
, então . - Mas se
temos e , então
, o que pode ser . Falha a adição.
Portanto, em (b)não é subespaço.
Passo 5
Caso (c):
(matrizes simétricas).
- A matriz zero é simétrica.
- Soma de duas simétricas é simétrica.
- Escalar vezes simétrica continua simétrica.
Logo,satisfaz as três condições e em (c) é subespaço.
Passo 6
Caso (d):
(matrizes singulares).
- A matriz zero tem determinante zero, então
. - Contudo, soma de duas matrizes singulares pode ter determinante não nulo (por exemplo
, e ). Falha a adição.
Logo, em (d)não é subespaço.
Resposta
(a)
é subespaço de
(b) não é subespaço de
(c) é subespaço de
(d) não é subespaço de
(b)
(c)
(d)