(i) uma base e a dimensão de
.
(ii) uma base e a dimensão de
.
(iii) uma base e a dimensão de
.
(iv) uma base e a dimensão de
.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
,
.
(ii) uma base e a dimensão de
(iii) uma base e a dimensão de
(iv) uma base e a dimensão de
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede, para cada caso ((a)–(d)), que determinemos as subespaços
e
de
, suas bases e dimensões, depois a soma
e a interseção
também com base e dimensão. Vamos usar parametrizações de sistemas lineares para achar bases de
e
, resolver o sistema conjunto para
, e a fórmula
para obter
e então fornecer uma base, muitas vezes escolhendo a base padrão de
quando
.
Passo 2
Caso (a):
.
- Para
resolvemos , logo
base
,
.
- Para
, claramente
base
,
.
- Interseção
: e , vetor genérico , base , . - Soma
: , logo . Podemos tomar a base padrão .
Passo 3
Caso (b):
.
- Para
, temos ,
base
,
.
- Para
,
base
,
.
- Interseção:
dá , base , . - Soma:
. Uma base é por exemplo .
Passo 4
Caso (c):
.
-
, base , . -
. Reduzindo, e , então base , . - Como
em , . Logo , base , . - Soma
, base padrão , .
Passo 5
Caso (d):
base
,
.
-
. De segue
base
,
.
- Interseção: resolvendo o sistema
subtraindo dá dá
. Logo
base
,
.
- Soma:
, mas , logo . Base padrão , .
Resposta
(a)(i) Base de
:
,
.
(a)(ii) Base de :
,
.
(a)(iii) Base de :
,
.
(a)(iv) Base de :
,
.
(a)(ii) Base de
(a)(iii) Base de
(a)(iv) Base de
(b)(i) Base de
:
,
.
(b)(ii) Base de :
,
.
(b)(iii) Base de :
,
.
(b)(iv) Base de :
,
.
(b)(ii) Base de
(b)(iii) Base de
(b)(iv) Base de
(c)(i) Base de
:
,
.
(c)(ii) Base de :
,
.
(c)(iii) Base de :
,
.
(c)(iv) Base de :
,
.
(c)(ii) Base de
(c)(iii) Base de
(c)(iv) Base de
(d)(i) Base de
:
,
.
(d)(ii) Base de :
,
.
(d)(iii) Base de :
,
.
(d)(iv) Base de :
,
.
(d)(ii) Base de
(d)(iii) Base de
(d)(iv) Base de