(a) x^3-3 x, 2 x^2+4,5 x^3-7 x^2+3,4 x^3-8,6 x subset P3 ;
(b) (-1,0,2,0,1),(0,1,0,-2,1),(-2,3,4,-6,5) subset R^5;
(c) (2,-1,3) subset R^3;
(d) (2,-1,0),(-1,3,0),(3,5,0) subset R^3;
(e) (2,1,3),(0,0,0),(1,5,2) subset R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá cinco conjuntos de vetores (ou polinômios) e queremos verificar, em cada caso, se o conjunto é linearmente independente ou não. O que precisamos para isso:
  • Um conjunto de mais vetores do que a dimensão do espaço é automaticamente linearmente dependente.
  • Se houver o vetor zero, o conjunto é imediatamente dependente.
  • Caso contrário, montamos a combinação linear alpha1 v1 + dots + alphak vk = 0 e verificamos se a única solução é alpha1 = cdots = alphak = 0.

Passo 2

(a) Temos cinco polinômios em P3, que é o espaço de dimensão 4. Como há mais polinômios do que a dimensão do espaço, o conjunto é necessariamente linearmente dependente.

Passo 3

(b) Os vetores em R^5 são
v1 = (-1,0,2,0,1), v2 = (0,1,0,-2,1), v3 = (-2,3,4,-6,5)
Note que
2v1 = (-2,0,4,0,2), 3v2 = (0,3,0,-6,3),
e somando temos
2v1 + 3v2 = (-2,3,4,-6,5) = v3
Logo há combinação não trivial que anula, e o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

(c) O conjunto (2,-1,3)subsetR^3 tem um único vetor não nulo. Qualquer conjunto unitário contendo um vetor não zero é linearmente independente, pois a única solução de alpha(2,-1,3)=0 é alpha=0.

Passo 5

(d) Em R^3 temos
v1=(2,-1,0), v2=(-1,3,0), v3=(3,5,0)
Todos estão no plano z=0, que é de dimensão 2, mas há 3 vetores, logo o conjunto é dependente. De fato, resolvendo
alpha v1+beta v2=v3 achamos alpha=tfrac145, beta=tfrac135, mostrando dependência.

Passo 6

(e) O conjunto (2,1,3),(0,0,0),(1,5,2) contém o vetor zero, e qualquer conjunto que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente.

Resposta

(a) Dependente
(b) Dependente
(c) Independente
(d) Dependente
(e) Dependente

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