(a)
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá cinco conjuntos de vetores (ou polinômios) e queremos verificar, em cada caso, se o conjunto é linearmente independente ou não. O que precisamos para isso:
- Um conjunto de mais vetores do que a dimensão do espaço é automaticamente linearmente dependente.
- Se houver o vetor zero, o conjunto é imediatamente dependente.
- Caso contrário, montamos a combinação linear
e verificamos se a única solução é .
Passo 2
(a) Temos cinco polinômios em
, que é o espaço de dimensão 4. Como há mais polinômios do que a dimensão do espaço, o conjunto é necessariamente linearmente dependente.
Passo 3
(b) Os vetores em
são
Note que
e somando temos
Logo há combinação não trivial que anula, e o conjunto é linearmente dependente.
Passo 4
(c) O conjunto
tem um único vetor não nulo. Qualquer conjunto unitário contendo um vetor não zero é linearmente independente, pois a única solução de
é
.
Passo 5
(d) Em
temos
Todos estão no plano
, que é de dimensão 2, mas há 3 vetores, logo o conjunto é dependente. De fato, resolvendo
achamos
,
, mostrando dependência.
Passo 6
(e) O conjunto
contém o vetor zero, e qualquer conjunto que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente.
Resposta
(a) Dependente
(b) Dependente
(c) Independente
(d) Dependente
(e) Dependente
(b) Dependente
(c) Independente
(d) Dependente
(e) Dependente