Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de k de forma que a matriz
-4 & k 2 & -3
esteja no subespaço S de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais, definido por:
S = x - y & 2x x + y & -y ,g|, x, y in R
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e igualdade de matrizes, para descobrir o valor de k .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz estar no subespaço S . Isso quer dizer que existe algum par de números reais x e y que, ao serem substituídos na definição de S , resultem na matriz dada:
-4 & k 2 & -3
Passo 3
Para encontrar k , vamos igualar cada elemento correspondente das duas matrizes. Isso nos dá um sistema de equações:
x - y = -4 2x = k x + y = 2 - y = -3
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos com a última equação:
- y = -3 implies y = 3
Agora que sabemos y = 3 , substituímos na terceira equação:
x + 3 = 2 implies x = 2 - 3 implies x = -1
Passo 5
Agora que temos os valores de x e y , podemos encontrar k usando a segunda equação:
2x = k implies 2(-1) = k implies k = -2
Resposta
O valor de k que faz a matriz pertencer ao subespaço S é k = -2 .