Seja S o subespaço de M2 times 2(R) dado por:
S=(ll x-y & 2 x x+y & -y )
(ll5 & 6 1 & 2) in S?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um subespaço S de matrizes 2 times 2 com uma estrutura específica. Nosso objetivo é verificar se a matriz
5 & 6 1 & 2
faz parte desse subespaço S . Para isso, vamos precisar identificar se existem valores de x e y que, ao serem substituídos na estrutura da matriz de S , resultam na matriz dada. Vamo resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a estrutura geral das matrizes em S :
S = x - y & 2x x + y & -y
Queremos encontrar x e y tais que:
x - y & 2x x + y & -y = 5 & 6 1 & 2
Isso nos dá um sistema de equações que precisamos resolver.

Passo 3

Vamos igualar os elementos correspondentes das matrizes:
  1. x - y = 5  (da primeira linha, primeira coluna)
  2. 2x = 6   (da primeira linha, segunda coluna)
  3. x + y = 1  (da segunda linha, primeira coluna)
  4. -y = 2   (da segunda linha, segunda coluna)
Vamos resolver essas equações uma a uma.

Passo 4

Começando pela equação mais simples, a segunda:
2x = 6
Para encontrar x , dividimos ambos os lados por 2:
x = 62 = 3

Passo 5

Agora, vamos resolver a quarta equação para encontrar y :
-y = 2
Multiplicando ambos os lados por -1:
y = -2

Passo 6

Com x = 3 e y = -2 , vamos verificar se esses valores satisfazem as outras duas equações.
Primeira equação:
x - y = 3 - (-2) = 5 (correto)
Terceira equação:
x + y = 3 + (-2) = 1 (correto)

Resposta

Sim, a matriz 5 & 6 1 & 2 pertence ao subespaço S .

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