Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de M3 times 3 ? $W=\left{\left( ccca & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0\right) ; d=a+b+c\right} ;

Passo 1

O enunciado trabalha em M3times3(R) e define
W = a & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0 ;|; d = a + b + c
Queremos verificar se W é subespaço vetorial, ou seja:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado em soma.
  3. W é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
pertence a W, pois nela a=b=c=0 e assim d=0=a+b+c. Logo, 0in W.

Passo 3

Sejam
X=a&b&c0&0&00&d&0, Y=a'&b'&c'0&0&00&d'&0
em W. Então d=a+b+c e d'=a'+b'+c'. A soma é
X+Y= a+a' & b+b' & c+c' 0 & 0 & 0 0 & d+d' & 0
Como
d+d'=(a+b+c)+(a'+b'+c')=(a+a')+(b+b')+(c+c'),
vemos que X+Y satisfaz a condição de W. Logo, X+Yin W.

Passo 4

Para um escalar lambdainR e
X=a&b&c0&0&00&d&0in W,
temos d=a+b+c. Então
lambda X = lambda a & lambda b & lambda c 0 & 0 & 0 0 & lambda d & 0
E lambda d = lambda(a+b+c) = (lambda a)+(lambda b)+(lambda c), logo lambda Xin W.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de M3times3(R).

Resposta

W é subespaço vetorial de M3times3(R).

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