Para a, b, c, d constantes reais aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha do campo F(x, y)=(a x+b y, c x+d y) ao longo do cuadrado |x|+|y|=1 no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ∮𝐅·d𝐫, onde 𝐅(x,y)=(a x + b y, c x + d y), ao redor do quadrado |x|+|y|=1 no sentido anti-horário. O conteúdo-chave é o Teorema de Green, que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Pela definição, escrevemos P(x,y)=a x + b y e Q(x,y)=c x + d y. O Teorema de Green diz que
∮ P,dx + Q,dy = ∬l(∂Q/∂x - ∂P/∂yr),dA
Então calculamos as derivadas parciais: ∂Q/∂x = c e ∂P/∂y = b, de modo que o integrando é c - b.

Passo 3

A região |x|+|y|≤1 é um losango com vértices em (±1,0),(0,±1). Seus eixos (diagonais) medem 2, logo a área vale
Área = d1,d22 = 2cdot 22 = 2 Á

Passo 4

Aplicando Green, a integral de contorno fica
∮𝐅·d𝐫 = ∬(c - b),dA = (c - b) times Área = (c - b)·2 Á

Resposta

2(c - b)

Exercícios relacionados