Para
constantes reais aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha do campo
ao longo do cuadrado
no sentido antihorário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha ∮𝐅·d𝐫, onde 𝐅(x,y)=(a x + b y, c x + d y), ao redor do quadrado |x|+|y|=1 no sentido anti-horário. O conteúdo-chave é o Teorema de Green, que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Pela definição, escrevemos P(x,y)=a x + b y e Q(x,y)=c x + d y. O Teorema de Green diz que
Então calculamos as derivadas parciais: ∂Q/∂x = c e ∂P/∂y = b, de modo que o integrando é c - b.
Passo 3
A região |x|+|y|≤1 é um losango com vértices em (±1,0),(0,±1). Seus eixos (diagonais) medem 2, logo a área vale
Passo 4
Aplicando Green, a integral de contorno fica
Resposta
2(c - b)