Verifique (e explique por que) se pi1=pi2 nos seguintes casos:
b) pi1: X=(1,1,1)+lambda(2,3,-1)+mu(-1,1,1) pi2: X=(1,6,2)+lambda(-1,1,1)+mu(2,3,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos em forma paramétrica:
pi1: X=(1,1,1)+lambda,(2,3,-1)+mu,(-1,1,1)
pi2: X=(1,6,2)+lambda,(-1,1,1)+mu,(2,3,-1)
Queremos verificar se pi1=pi2. Para isso, vamos usar a teoria de que dois planos coincidem se (i) seus vetores normais são paralelos e (ii) um ponto de um plano pertence ao outro.

Passo 2

Primeiro, encontramos um vetor normal a pi1 como produto vetorial dos vetores diretores
v=(2,3,-1) e w=(-1,1,1).
n1= vtimes w = i & j & k 2 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 =(4,,-1,,5)

Passo 3

Agora, o vetor normal a pi2 vem do produto vetorial dos diretores
v' =(-1,1,1) e w' =(2,3,-1).
n2= v'times w' = i & j & k -1 & 1 & 1 2 & 3 & -1 =(-4,,1,,-5)

Passo 4

Observamos que n2=- n1, logo os normais são paralelos. Assim pi1 e pi2 são planos paralelos (ou coincidentes). Para comprovar que coincidem, basta verificar se um ponto de pi2 está em pi1.

Passo 5

Pegamos o ponto
Isto gera o sistema
Da primeira equação .

Resposta

pi1=pi2 porque seus vetores normais são paralelos e um ponto de pi2 pertence a pi1.

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