(a)
(b) V=R^3, W=[lx y z] in R^3 rvert, x=z
(c) V=R^3, W=[lx y z] in R^3 rvert, x <= y <= z
(d) V=R^3, W=[la b c] in R^3| | a|=|b|, onde a, b, c in R
(e) V=R^4, W=[lx y y x] in R^4 rvert, x, y in R
(f) V=R^4, W=[la b c d] in R^4 rvert, a+b+c+d >= 0
Passo 1
O enunciado apresenta seis subconjuntos Wsubset V com V=R^3 ou R^4, cada um definido por uma condição algébrica, e pede quais desses W são subespaços vetoriais de V. Vamos usar o critério de subespaço para decidir.
Passo 2
Um subconjunto Wsubset V é subespaço de V se, e somente se, satisfaz três condições:
(i) 0in W,
(ii) para todo u,vin W, temos u+vin W,
(iii) para todo uin W e todo lambdainR, temos lambda uin W.
Passo 3
(a) W=[x,y,z]^Tmid z=3.
O vetor nulo 0=[0,0,0]^T não satisfaz 0=3, logo 0notin W. Portanto W não é subespaço.
Passo 4
(b) W=[x,y,z]^Tmid x=z=[s,t,s]^T: s,tinR.
Note que
[s,t,s]^T ;=; s101 ;+; t010,
ou seja, W=span(1,0,1),(0,1,0). Contém 0 e é fechado sob soma e escalares. Logo é subespaço.
Passo 5
(c) W=[x,y,z]^Tmid x<= y<= z.
Embora 0in W, se tomarmos v=(1,2,3)in W e lambda=-1, então lambda v=(-1,-2,-3)
não satisfaz -1<= -2<= -3. Falha o fechamento sob multiplicação por escalar, logo não é subespaço.
Passo 6
(d) W=[a,b,c]^Tmid |a|=|b|.
Considere
u=(1,1,0), v=(1,-1,0)in W
Então
u+v = (2,0,0)
não satisfaz |2|=|0|. Falha o fechamento sob soma, logo não é subespaço.
Passo 7
(e) W=[x,y,y,x]^Tmid x,yinR.
Podemos escrever
[x,y,y,x]^T = x,(1,0,0,1) + y,(0,1,1,0),
logo W=span(1,0,0,1),(0,1,1,0). Contém 0 e é fechado sob soma e escalares, sendo subespaço.
Passo 8
(f) W=[a,b,c,d]^Tmid a+b+c+d>=0.
Se vin W então a+b+c+d>=0, mas para lambda=-1 temos lambda v com soma de componentes <=0, possivelmente negativa. Falha o fechamento sob escalares, não é subespaço.