(a) Se
é LI, então
também é LI
(b)
?
(b)
Passo 1
O enunciado pede para estudar duas coisas sobre vetores
em um espaço vetorial:
(a) mostrar que, se é linearmente independente, então
também é linearmente independente;
(b) comparar o subespaço gerado por com o subespaço gerado por
, ou seja, verificar se
(a) mostrar que, se
(b) comparar o subespaço gerado por
Vamos lembrar que um conjunto é LI se a única combinação linear que gera o vetor zero tem todos os coeficientes nulos, e que
denota o span (subespaço gerado).
Passo 2
Para (a), suponha que existam escalares
tais que
Reagrupando os termos em
, obtemos
Passo 3
Como
é linearmente independente, as únicas soluções para
são
,
e
. Esse sistema implica imediatamente
Passo 4
Portanto, a combinação linear original só se anula quando
. Isso mostra que
é também linearmente independente.
Passo 5
Para (b), vamos mostrar que cada vetor de
pode ser escrito como combinação linear de
e vice-versa. Assim provamos a igualdade dos spans por duas inclusões.
Passo 6
Primeiro, note que
são combinações lineares óbvias de
. Logo
Passo 7
Agora, para inverter a inclusão, escrevemos cada um de
em função de
. Por exemplo,
De modo análogo podemos obter expressões para
e para
. Isso mostra
logo
Resposta
(a) Verdadeiro:
é LI.
(b) Sim: .
(b) Sim: