(a) Se u, v, w é LI, então u+v, u+w, v+w também é LI
(b) [u, v, w]=[u+v, u+w, v+w] ?

Passo 1

O enunciado pede para estudar duas coisas sobre vetores u,v,w em um espaço vetorial:
(a) mostrar que, se u,v,w é linearmente independente, então u+v,;u+w,;v+w também é linearmente independente;
(b) comparar o subespaço gerado por u,v,w com o subespaço gerado por u+v,;u+w,;v+w, ou seja, verificar se
[u,v,w]=[,u+v,;u+w,;v+w,]
Vamos lembrar que um conjunto é LI se a única combinação linear que gera o vetor zero tem todos os coeficientes nulos, e que [,cdot,] denota o span (subespaço gerado).

Passo 2

Para (a), suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,(u+v)+b,(u+w)+c,(v+w)=0
Reagrupando os termos em u,v,w, obtemos
(a+b),u ;+;(a+c),v;+;(b+c),w ;=;0

Passo 3

Como u,v,w é linearmente independente, as únicas soluções para
(a+b)=0, (a+c)=0, (b+c)=0
são a+b=0, a+c=0 e b+c=0. Esse sistema implica imediatamente
a=b=c=0

Passo 4

Portanto, a combinação linear original só se anula quando a=b=c=0. Isso mostra que u+v,;u+w,;v+w é também linearmente independente.

Passo 5

Para (b), vamos mostrar que cada vetor de u,v,w pode ser escrito como combinação linear de u+v,;u+w,;v+w e vice-versa. Assim provamos a igualdade dos spans por duas inclusões.

Passo 6

Primeiro, note que
u+v,;u+w,;v+w
são combinações lineares óbvias de u,v,w. Logo
[,u+v,;u+w,;v+w,];subseteq;[,u,v,w,]

Passo 7

Agora, para inverter a inclusão, escrevemos cada um de u,v,w em função de u+v,;u+w,;v+w. Por exemplo,
u ;=;(u+v)+(u+w)-(v+w)2
De modo análogo podemos obter expressões para v e para w. Isso mostra
u,v,w;in;[,u+v,;u+w,;v+w,],
logo
[,u,v,w,];subseteq;[,u+v,;u+w,;v+w,]

Resposta

(a) Verdadeiro: u+v,;u+w,;v+w é LI.
(b) Sim: [,u,v,w,]=[,u+v,;u+w,;v+w,].

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