Questão 10. [Valor: 0,2 ponto]
Obtenha uma equação geral do plano pi em cada caso:
(e) pi contém P(0,-1,2) e r:(0,1,1)+t(2,2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação geral do plano pi que passa pelo ponto P(0, -1, 2) e também contém a reta r definida por r = (0, 1, 1) + t(2, 2, -2). Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores, produto vetorial e equação de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar duas direções dentro do plano pi. A primeira direção vem da reta r, que tem o vetor diretor v = (2, 2, -2).

Passo 3

Agora, precisamos de uma segunda direção no plano pi. Para isso, podemos considerar o vetor que liga o ponto P(0, -1, 2) a um ponto qualquer da reta r. Vamos escolher o ponto Q(0, 1, 1) na reta r. O vetor PQ é dado por:
PQ = Q - P = (0 - 0, 1 - (-1), 1 - 2) = (0, 2, -1)
Então, temos a segunda direção u = (0, 2, -1).

Passo 4

Com os dois vetores diretores v e u que estão no plano pi, podemos encontrar o vetor normal n ao plano usando o produto vetorial entre u e v:
n = u times v
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 0 & 2 & -1 2 & 2 & -2 = i(2 cdot (-2) - (-1) cdot 2) - j(0 cdot (-2) - (-1) cdot 2) + k(0 cdot 2 - 2 cdot 2)
n = i(-4 + 2) - j(0 + 2) + k(0 - 4) = i(-2) - j(2) + k(-4)
Portanto, o vetor normal é n = (-2, -2, -4). Podemos simplificar dividindo por -2, ficando n = (1, 1, 2).

Passo 5

Com o vetor normal n = (1, 1, 2) e o ponto P(0, -1, 2) que está no plano, podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P.
Substituindo os valores:
1(x - 0) + 1(y - (-1)) + 2(z - 2) = 0
Simplificando:
x + (y + 1) + 2(z - 2) = 0
x + y + 1 + 2z - 4 = 0
x + y + 2z - 3 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
x + y + 2z = 3

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