(a) V=R^3 e W=[lx y z] in V / 2 x-y+z=0 e x+3 y-z=0
(b) V=R^5 e W=[cx1 vdots x5] in V / x1=x2=x5
(c) V=R^3 e W é o subespaço gerado por: [c1 -1 1],[l1 2 0],[l0 1 1],[l2 1 2]

Passo 1

O enunciado apresenta três casos de espaços vetoriais V e subespaços W. Em cada caso, queremos encontrar uma base de W e calcular dim(W). O conteúdo usado envolve representar W por equações lineares ou geradores, resolver sistemas lineares para obter forma paramétrica e extrair vetores independentes.

Passo 2

Para o caso (a), temos V= R^3 e
W = [x,y,z]^Tin Vmid 2x - y + z = 0,; x + 3y - z = 0
Resolvemos o sistema:
2x - y + z = 0, x + 3y - z = 0
Da primeira equação, z = y - 2x. Substituindo na segunda:
x + 3y - (y - 2x) = 0 ;Longrightarrow; 3x + 2y = 0 ;Longrightarrow; y = -tfrac32 x
Logo z = -tfrac72 x, e um vetor genérico de W é
[x,y,z]^T = x 1 -tfrac32 -tfrac72 = x2 -3 -7
Portanto uma base de W é [2,-3,-7]^T e dim(W)=1.

Passo 3

Para o caso (b), V= R^5 e
W = [x1,x2,x3,x4,x5]^Tin Vmid x1 = x2 = x5
Chamando t=x1=x2=x5, u=x3 e v=x4, um vetor de W é
[t,t,u,v,t]^T = t11001 + u00100 + v00010
Assim, uma base de W é
[1,1,0,0,1]^T,,[0,0,1,0,0]^T,,[0,0,0,1,0]^T
e dim(W)=3.

Passo 4

No caso (c), e com
Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos posto:
çã
Como o posto é , . Os vetores correspondentes às colunas pivô (por exemplo ) formam uma base:
.

Resposta

(a) Base [2,-3,-7]^T, dim(W)=1.
(b) Base [1,1,0,0,1]^T,,[0,0,1,0,0]^T,,[0,0,0,1,0]^T, dim(W)=3.
(c) Base [1,-1,1]^T,,[1,2,0]^T,,[0,1,1]^T, dim(W)=3.

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