Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
são matrizes invertíveis da mesma ordem e diz que essa equação tem solução. O que se pede: expressar a matriz
em função de
e
(e, se necessário, usar
— aqui não aparecem na equação). Informações relevantes fornecidas:
-
é invertível. -
é conhecida (é o lado direito). -
é a incógnita a ser encontrada. - A transposta do produto aparece na equação.
Passo 2
Lembrando uma propriedade fundamental da transposta: para quaisquer matrizes compatíveis
e
,
Isto significa que ao transpor um produto a ordem dos fatores inverte-se. É crucial cuidar da ordem porque multiplicação de matrizes não é comutativa.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à equação dada, com
e
, obtemos
Como
pelo enunciado, segue que
Passo 4
Queremos isolar
. Como
é invertível, também
é invertível. Uma propriedade útil é
Multiplicamos a igualdade
à direita por
(observe que multiplicamos à direita para manter a ordem correta):
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora tomamos a transposta de ambos os lados para voltar a
. Usando
e
, temos
Agora simplificamos
. Pelo fato de transpor e inverter trocarem de ordem,
Portanto
Passo 6
(Uma rota alternativa, curta, que dá o mesmo resultado.) Transpondo a equação inicial
obtemos
(porque
). Então, multiplicando à esquerda por
,
Mesma solução, método ligeiramente diferente.