Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
(A \cdot X)^{t}=B.

Passo 1

O enunciado dá a equação
(A\cdot X)^{t}=B
onde A,B,X são matrizes invertíveis da mesma ordem e diz que essa equação tem solução. O que se pede: expressar a matriz X em função de A e B (e, se necessário, usar C,D — aqui não aparecem na equação). Informações relevantes fornecidas:
  • A é invertível.
  • B é conhecida (é o lado direito).
  • X é a incógnita a ser encontrada.
  • A transposta do produto aparece na equação.

Passo 2

Lembrando uma propriedade fundamental da transposta: para quaisquer matrizes compatíveis M e N,
(MN)^{t}=N^{t}M^{t}.
Isto significa que ao transpor um produto a ordem dos fatores inverte-se. É crucial cuidar da ordem porque multiplicação de matrizes não é comutativa.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à equação dada, com M=A e N=X, obtemos
(A X)^{t}=X^{t}A^{t}.
Como (A X)^{t}=B pelo enunciado, segue que
X^{t}A^{t}=B.

Passo 4

Queremos isolar X. Como A é invertível, também A^{t} é invertível. Uma propriedade útil é
(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}.
Multiplicamos a igualdade X^{t}A^{t}=B à direita por (A^{t})^{-1} (observe que multiplicamos à direita para manter a ordem correta):
X^{t}A^{t}(A^{t})^{-1}=B(A^{t})^{-1}.
Como A^{t}(A^{t})^{-1}=I, isso simplifica para
X^{t}=B(A^{t})^{-1}.

Passo 5

Agora tomamos a transposta de ambos os lados para voltar a X. Usando (M^{-1})^{t}=(M^{t})^{-1} e (MN)^{t}=N^{t}M^{t}, temos
X=\bigl(X^{t}\bigr)^{t}=\bigl(B(A^{t})^{-1}\bigr)^{t}=( (A^{t})^{-1} )^{t} B^{t}.
Agora simplificamos ((A^{t})^{-1})^{t}. Pelo fato de transpor e inverter trocarem de ordem,
((A^{t})^{-1})^{t}=( (A^{t})^{t} )^{-1}=A^{-1}.
Portanto
X=A^{-1}B^{t}.

Passo 6

(Uma rota alternativa, curta, que dá o mesmo resultado.) Transpondo a equação inicial (A X)^{t}=B obtemos A X = B^{t} (porque (B)^{t t}=B). Então, multiplicando à esquerda por A^{-1},
X=A^{-1}B^{t}.
Mesma solução, método ligeiramente diferente.

Resposta

X=A^{-1}B^{t}

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