Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado fornece que
e
são matrizes invertíveis de mesma ordem e que a seguinte equação tem solução:
A pergunta desta parte é: expressar a matriz
em função de
e
(e/ou outras expressões equivalentes) usando propriedades das matrizes.
Passo 2
Lembrete sobre inversa de matriz (isso é fundamental para manipular a equação).
- Para uma matriz quadrada invertível
, a inversa é a única matriz que satisfaz
- Importante: multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, em geral
. Então ao usar inversas deve-se manter a ordem correta dos fatores.
Passo 3
Começamos a manipular a equação dada multiplicando ambos os lados à esquerda por
. Isso é válido porque
é invertível.
Aplicando à equação
obtemos:
Aplicando
Passo 4
Simplificamos o lado esquerdo usando
. Assim:
ou seja
Passo 5
Agora multiplicamos ambos os lados da última igualdade à direita por
. Como
é invertível, isso é permitido:
Usando
no lado esquerdo, obtemos
Passo 6
Observações e forma alternativa:
- A solução encontrada é
- Outra forma equivalente, usando a propriedade inversa de um produto, é escrever
pois vale a identidade
sempre que
e
são invertíveis. Repare que a ordem é importante:
, não o contrário.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para ver na prática e ganhar confiança):
Escolha
Escolha
Então
Logo
Verificação rápida:
Funciona, ótimo!]