Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
A \cdot X \cdot B=I_{n}.

Passo 1

O enunciado fornece que A, B, C, D e X são matrizes invertíveis de mesma ordem e que a seguinte equação tem solução:
A \cdot X \cdot B = I_{n}.
A pergunta desta parte é: expressar a matriz X em função de A e B (e/ou outras expressões equivalentes) usando propriedades das matrizes.

Passo 2

Lembrete sobre inversa de matriz (isso é fundamental para manipular a equação).
  • Para uma matriz quadrada invertível M, a inversa M^{-1} é a única matriz que satisfaz
M^{-1}M = MM^{-1} = I_{n}.
  • Importante: multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, em geral PQ \neq QP. Então ao usar inversas deve-se manter a ordem correta dos fatores.

Passo 3

Começamos a manipular a equação dada multiplicando ambos os lados à esquerda por A^{-1}. Isso é válido porque A é invertível.
Aplicando A^{-1} à equação \,A X B = I_{n}\, obtemos:
A^{-1}\,(A X B) = A^{-1} I_{n}.

Passo 4

Simplificamos o lado esquerdo usando A^{-1}A = I_{n}. Assim:
(I_{n}) X B = A^{-1},
ou seja
X B = A^{-1}.

Passo 5

Agora multiplicamos ambos os lados da última igualdade à direita por B^{-1}. Como B é invertível, isso é permitido:
(X B)\,B^{-1} = A^{-1} B^{-1}.
Usando B B^{-1}=I_{n} no lado esquerdo, obtemos
X = A^{-1} B^{-1}.

Passo 6

Observações e forma alternativa:
  • A solução encontrada é
X = A^{-1} B^{-1}.
  • Outra forma equivalente, usando a propriedade inversa de um produto, é escrever
X = (B A)^{-1},
pois vale a identidade (B A)^{-1} = A^{-1} B^{-1} sempre que A e B são invertíveis. Repare que a ordem é importante: (A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, não o contrário.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para ver na prática e ganhar confiança):
Escolha
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
Então
A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad B^{-1} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
Logo
X = A^{-1} B^{-1} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix}.
Verificação rápida:
A X = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}, \qquad A X B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I_{2}.
Funciona, ótimo!]

Resposta

X = A^{-1} B^{-1} = (B A)^{-1}

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