Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação entre matrizes
onde
são matrizes da mesma ordem e invertíveis, e pede para expressar
em função de
e
(as demais
não aparecem nesta equação). O que se quer é isolar a matriz desconhecida
.
Informações relevantes:
-
, , são matrizes da mesma ordem. - A equação matricial é
. - Está implícito que as operações de soma, subtração e multiplicação por escalar estão definidas (tipicamente sobre um corpo como
ou ).
Passo 2
Lembretes úteis sobre operações com matrizes (explicados de forma prática):
- Soma e subtração de matrizes: duas matrizes da mesma ordem somam-se ou subtraem-se elemento a elemento. Se
e têm a mesma dimensão, então é bem definida. - Multiplicação por escalar: para um número (escalar)
e uma matriz , é a matriz obtida multiplicando cada entrada de por . - Podemos “fazer as mesmas operações” em ambos os lados de uma equação matricial (como subtrair uma matriz ou multiplicar por um escalar diferente de zero), desde que as operações sejam válidas para matrizes daquelas dimensões.
- Em particular, o escalar
tem inverso multiplicativo (no corpo dos escalares), então podemos multiplicar ambos os lados por para “dividir por 2”.
Passo 3
Subtrair
de ambos os lados (isso é válido porque a subtração de matrizes da mesma ordem é bem definida). Escrevendo isso:
Usando a associatividade e o fato de que
é a matriz zero, obtemos
Passo 4
Agora isolar
dividindo por
, i.e. multiplicando ambos os lados pelo escalar
. Isso é permitido porque
é o inverso multiplicativo de
no corpo dos escalares:
Pela propriedade de associatividade da multiplicação escalar em matrizes e porque
, o lado esquerdo fica simplesmente
. Assim obtemos a expressão de
em função de
e
.