Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
A+2 X=B.

Passo 1

O enunciado dá a equação entre matrizes
A + 2X = B,
onde A,B,C,D,X são matrizes da mesma ordem e invertíveis, e pede para expressar X em função de A e B (as demais C,D não aparecem nesta equação). O que se quer é isolar a matriz desconhecida X.
Informações relevantes:
  • A, B, X são matrizes da mesma ordem.
  • A equação matricial é \,A + 2X = B\,.
  • Está implícito que as operações de soma, subtração e multiplicação por escalar estão definidas (tipicamente sobre um corpo como \mathbb{R} ou \mathbb{C}).

Passo 2

Lembretes úteis sobre operações com matrizes (explicados de forma prática):
  • Soma e subtração de matrizes: duas matrizes da mesma ordem somam-se ou subtraem-se elemento a elemento. Se M e N têm a mesma dimensão, então M-N é bem definida.
  • Multiplicação por escalar: para um número (escalar) \lambda e uma matriz M, \lambda M é a matriz obtida multiplicando cada entrada de M por \lambda.
  • Podemos “fazer as mesmas operações” em ambos os lados de uma equação matricial (como subtrair uma matriz ou multiplicar por um escalar diferente de zero), desde que as operações sejam válidas para matrizes daquelas dimensões.
  • Em particular, o escalar 2 tem inverso multiplicativo \tfrac{1}{2} (no corpo dos escalares), então podemos multiplicar ambos os lados por \tfrac{1}{2} para “dividir por 2”.

Passo 3

Subtrair A de ambos os lados (isso é válido porque a subtração de matrizes da mesma ordem é bem definida). Escrevendo isso:
A + 2X - A = B - A.
Usando a associatividade e o fato de que A-A é a matriz zero, obtemos
2X = B - A.

Passo 4

Agora isolar X dividindo por 2, i.e. multiplicando ambos os lados pelo escalar \tfrac{1}{2}. Isso é permitido porque \tfrac{1}{2} é o inverso multiplicativo de 2 no corpo dos escalares:
\tfrac{1}{2}\,(2X) = \tfrac{1}{2}\,(B - A).
Pela propriedade de associatividade da multiplicação escalar em matrizes e porque \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1, o lado esquerdo fica simplesmente X. Assim obtemos a expressão de X em função de A e B.

Resposta

X = \tfrac{1}{2}\,(B - A)

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