São dadas uma função diferenciável (f) junto a uma aproximação linear local (L) de (f) num ponto P. Use a informação dada para determinar o ponto P.
(f(x, y)=x{2}+y{2} ; L(x, y)=2 y-2 x-2)

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável e uma aproximação linear local em um ponto P. Especificamente:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A aproximação linear (linearização / plano tangente) fornecida é L(x,y)=2y-2x-2.
O que o problema pede:
  • Determinar o ponto P=(a,b) no qual L é a aproximação linear (linearização) de f.
    Lista das informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de f.
  • A expressão explícita de L.
  • Deve existir um ponto P=(a,b) tal que a linearização de f em P seja exatamente L.

Passo 2

Conceito-chave: linearização (aproximação linear) de uma função de duas variáveis.
Se f é diferenciável em (a,b), a linearização de f em (a,b) é a função afim dada por
L_{(a,b)}(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
O que cada símbolo significa:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto de tangência.
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b); ela dá a inclinação do plano tangente na direção x.
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b); ela dá a inclinação do plano tangente na direção y.
  • A expressão acima produz o plano tangente (função afim) que aproxima f perto de (a,b).
No exame, quando pedirem “encontre o ponto onde a linearização é …”, a ideia é: escreva a forma geral de L_{(a,b)} e compare com a L dada para obter equações para a e b.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,
pois y^{2} é tratado como constante quando derivamos em x.
Derivada parcial em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Portanto, avaliadas no ponto (a,b) temos f_x(a,b)=2a e f_y(a,b)=2b.

Passo 4

Escrever a forma explícita da linearização em (a,b) usando os resultados:
L_{(a,b)}(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).
Substituindo f(a,b)=a^{2}+b^{2}, f_x(a,b)=2a e f_y(a,b)=2b, obtemos
L_{(a,b)}(x,y)=a^{2}+b^{2}+2a(x-a)+2b(y-b).
Desenvolvendo os termos para simplificar:
L_{(a,b)}(x,y)=a^{2}+b^{2}+2ax-2a^{2}+2by-2b^{2}=2ax+2by-(a^{2}+b^{2}).

Passo 5

Comparar a expressão geral encontrada com a L que foi dada no enunciado. A L dada é
L(x,y)=2y-2x-2.
A expressão geral da linearização em (a,b) é
L_{(a,b)}(x,y)=2a x + 2b y - (a^{2}+b^{2}).
Igualando coeficientes correspondentes (porque duas funções afins são iguais para todo (x,y) se e só se seus coeficientes coincidirem), obtemos o sistema:
  • Coeficiente de x: 2a = -2.
  • Coeficiente de y: 2b = 2.
  • Termo constante: -(a^{2}+b^{2}) = -2.
Resolver as duas primeiras equações:
2a=-2 \implies a=-1,
2b=2 \implies b=1.

Passo 6

Verificação com a terceira equação (consistência do termo constante). Calcular a^{2}+b^{2} com os valores encontrados:
a^{2}+b^{2}=(-1)^{2}+(1)^{2}=1+1=2.
Então
-(a^{2}+b^{2})=-2,
que coincide exatamente com o termo constante de L(x,y). Logo os valores encontrados são consistentes e validados.

Passo 7

Conclusão e interpretação rápida (dica de prova): o ponto P onde está a linearização é (a,b)=(-1,1). Geometricamente, isso significa que o plano tangente a z=f(x,y)=x^{2}+y^{2} em (-1,1,f(-1,1)) tem a equação z=2y-2x-2. Na prova, o procedimento padrão é sempre: (i) calcular f_x e f_y, (ii) escrever L_{(a,b)}, (iii) comparar coeficientes e (iv) checar consistência. Força aí — dá para resolver várias questões desse tipo seguindo esses passos!

Resposta

(-1,1)

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