São dadas uma função diferenciável (f) junto a uma aproximação linear local (L) de (f) num ponto P. Use a informação dada para determinar o ponto P.
(f(x, y)=x{2}+y{2} ; L(x, y)=2 y-2 x-2)
(f(x, y)=x{2}+y{2} ; L(x, y)=2 y-2 x-2)
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável e uma aproximação linear local em um ponto
. Especificamente:
- A função é
. - A aproximação linear (linearização / plano tangente) fornecida é
.
O que o problema pede:
- Determinar o ponto
no qual é a aproximação linear (linearização) de .
Lista das informações relevantes dadas: - A expressão explícita de
. - A expressão explícita de
. - Deve existir um ponto
tal que a linearização de em seja exatamente .
Passo 2
Conceito-chave: linearização (aproximação linear) de uma função de duas variáveis.
Se é diferenciável em
, a linearização de
em
é a função afim dada por
Se
O que cada símbolo significa:
-
é o valor da função no ponto de tangência. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; ela dá a inclinação do plano tangente na direção . -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; ela dá a inclinação do plano tangente na direção . - A expressão acima produz o plano tangente (função afim) que aproxima
perto de .
No exame, quando pedirem “encontre o ponto onde a linearização é …”, a ideia é: escreva a forma geral de
e compare com a
dada para obter equações para
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a
pois
é tratado como constante quando derivamos em
.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a
Portanto, avaliadas no ponto
temos
e
.
Passo 4
Escrever a forma explícita da linearização em
usando os resultados:
Substituindo
,
e
, obtemos
Desenvolvendo os termos para simplificar:
Passo 5
Comparar a expressão geral encontrada com a
que foi dada no enunciado. A
dada é
A expressão geral da linearização em
é
Igualando coeficientes correspondentes (porque duas funções afins são iguais para todo
se e só se seus coeficientes coincidirem), obtemos o sistema:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolver as duas primeiras equações:
Passo 6
Verificação com a terceira equação (consistência do termo constante). Calcular
com os valores encontrados:
Então
que coincide exatamente com o termo constante de
. Logo os valores encontrados são consistentes e validados.
Passo 7
Conclusão e interpretação rápida (dica de prova): o ponto
onde está a linearização é
. Geometricamente, isso significa que o plano tangente a
em
tem a equação
. Na prova, o procedimento padrão é sempre: (i) calcular
e
, (ii) escrever
, (iii) comparar coeficientes e (iv) checar consistência. Força aí — dá para resolver várias questões desse tipo seguindo esses passos!