Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
B \cdot A \cdot X=A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A, B, C, D e X são matrizes invertíveis da mesma ordem.
  • A equação a resolver é B \cdot A \cdot X = A.
    O que se pede: expressar a matriz X em função de A, B, C e D (neste caso apenas A e B aparecem na equação).

Passo 2

Lembrando uma propriedade fundamental: se M é invertível então existe M^{-1} tal que
M^{-1}M = MM^{-1} = I,
onde I é a matriz identidade. Também usamos que a multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis P,Q,R vale (PQ)R = P(QR).
A ideia é “desfazer” a multiplicação por B e por A aplicando suas inversas na ordem correta. Primeiro, multiplico a equação dada à esquerda por B^{-1}:
B^{-1}\bigl(B A X\bigr) = B^{-1}A.
Usando associatividade e que B^{-1}B=I obtemos
(B^{-1}B) A X = B^{-1}A \quad\Rightarrow\quad I A X = B^{-1}A.
Como I A = A, isso dá
A X = B^{-1}A.

Passo 3

Agora “desfaço” a multiplicação por A multiplicando à esquerda por A^{-1}:
A^{-1}\bigl(A X\bigr) = A^{-1}\bigl(B^{-1}A\bigr).
Pela associatividade e A^{-1}A=I segue
(A^{-1}A) X = A^{-1}B^{-1}A \quad\Rightarrow\quad I X = A^{-1}B^{-1}A.
Portanto
X = A^{-1}B^{-1}A.

Passo 4

Verificação (substituição direta) para garantir que a solução está correta. Calculo B A X usando X = A^{-1}B^{-1}A:
B A \bigl(A^{-1}B^{-1}A\bigr) = B\bigl(A A^{-1}\bigr)B^{-1}A = B I B^{-1}A = \bigl(BB^{-1}\bigr)A = I A = A.
Isso retorna a igualdade original, logo a solução está correta.
Observação importante: a ordem das matrizes é crucial — não se pode trocar A^{-1}B^{-1} por B^{-1}A^{-1} sem mudar o resultado.

Resposta

X = A^{-1}B^{-1}A

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