Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes invertíveis da mesma ordem. - A equação a resolver é
.
O que se pede: expressar a matrizem função de e (neste caso apenas e aparecem na equação).
Passo 2
Lembrando uma propriedade fundamental: se
é invertível então existe
tal que
onde
é a matriz identidade. Também usamos que a multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis
vale
.
A ideia é “desfazer” a multiplicação por e por
aplicando suas inversas na ordem correta. Primeiro, multiplico a equação dada à esquerda por
:
A ideia é “desfazer” a multiplicação por
Usando associatividade e que
obtemos
Como
, isso dá
Passo 3
Agora “desfaço” a multiplicação por
multiplicando à esquerda por
:
Pela associatividade e
segue
Portanto
Passo 4
Verificação (substituição direta) para garantir que a solução está correta. Calculo
usando
:
Isso retorna a igualdade original, logo a solução está correta.
Observação importante: a ordem das matrizes é crucial — não se pode trocar por
sem mudar o resultado.
Observação importante: a ordem das matrizes é crucial — não se pode trocar