São dadas uma função diferenciável (f) junto a uma aproximação linear local (L) de (f) num ponto P. Use a informação dada para determinar o ponto P.
(f(x, y)=x^{2} y ; L(x, y)=4 y-4 x+8)

Passo 1

O enunciado dá:
  • Função f(x,y)=x^{2}y.
  • Aproximação linear local (linearização) L(x,y)=4y-4x+8.
    O que se pede: determinar o ponto P (isto é, as coordenadas (a,b)) no qual L é a aproximação linear de f.

Passo 2

Recordando a fórmula da aproximação linear de uma função de duas variáveis em torno de um ponto (a,b):
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Explicando cada termo:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto de aproximação.
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b); ela multiplica o deslocamento (x-a).
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b); ela multiplica o deslocamento (y-b).
    Agora calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.

Passo 3

Avalie f e as derivadas em (a,b):
f(a,b)=a^{2}b,\qquad f_x(a,b)=2ab,\qquad f_y(a,b)=a^{2}.
Substituindo na fórmula da linearização:
L(x,y)=a^{2}b + 2ab\,(x-a) + a^{2}\,(y-b).
Desenvolvendo e simplificando os termos:
L(x,y)=a^{2}b + 2abx - 2ab a + a^{2}y - a^{2}b.
Note que a^{2}b e -a^{2}b se cancelam, ficando
L(x,y)=2ab\,x + a^{2}\,y - 2a^{2}b.

Passo 4

Comparando esta forma geral com a linearização dada L(x,y)=4y-4x+8, como as duas expressões devem coincidir para todos x,y próximos de (a,b), igualamos coeficientes dos termos correspondentes:
  • Coeficiente de x: \;2ab = -4.
  • Coeficiente de y: \;a^{2} = 4.
  • Termo constante: \;-2a^{2}b = 8.

Passo 5

Resolva o sistema obtido:
Da segunda equação:
a^{2}=4 \implies a=\pm 2.
Da primeira equação:
2ab=-4 \implies ab=-2.
Da terceira equação (usar a^{2}=4):
-2a^{2}b=8 \implies -2\cdot 4 \cdot b=8 \implies -8b=8 \implies b=-1.
Com b=-1 e ab=-2 verificamos qual sinal de a serve:
ab=a\cdot(-1)=-a \stackrel{!}{=}-2 \implies a=2.
O caso a=-2 daria ab=2, contradizendo ab=-2. Portanto a única solução é a=2,\; b=-1.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil): calcule valores em (2,-1):
f(2,-1)=2^{2}\cdot(-1)=-4,\quad f_x(2,-1)=2\cdot 2\cdot(-1)=-4,\quad f_y(2,-1)=2^{2}=4.
Assim
L(x,y)=-4 + (-4)(x-2) + 4(y+1) = -4 -4x +8 +4y +4 = 4y-4x+8,
que coincide com a L dada. Está correto.

Resposta

(2,-1)

Exercícios relacionados