São dadas uma função diferenciável (f) junto a uma aproximação linear local (L) de (f) num ponto P. Use a informação dada para determinar o ponto P.
(f(x, y)=x^{2} y ; L(x, y)=4 y-4 x+8)
(f(x, y)=x^{2} y ; L(x, y)=4 y-4 x+8)
Passo 1
O enunciado dá:
- Função
. - Aproximação linear local (linearização)
.
O que se pede: determinar o ponto(isto é, as coordenadas ) no qual é a aproximação linear de .
Passo 2
Recordando a fórmula da aproximação linear de uma função de duas variáveis em torno de um ponto
:
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto de aproximação. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; ela multiplica o deslocamento . -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; ela multiplica o deslocamento .
Agora calculemos as derivadas parciais de:
Passo 3
Avalie
e as derivadas em
:
Substituindo na fórmula da linearização:
Desenvolvendo e simplificando os termos:
Note que
e
se cancelam, ficando
Passo 4
Comparando esta forma geral com a linearização dada
, como as duas expressões devem coincidir para todos
próximos de
, igualamos coeficientes dos termos correspondentes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Resolva o sistema obtido:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Da terceira equação (usar
):
Com
e
verificamos qual sinal de
serve:
O caso
daria
, contradizendo
. Portanto a única solução é
.
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas útil): calcule valores em
:
Assim
que coincide com a
dada. Está correto.