Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
- As matrizes
e são inversíveis e têm a mesma ordem. - Todas as equações dadas no enunciado têm solução (aqui só temos uma delas).
- A equação que precisamos resolver é:
O que se pede: expressar a matriz
em função de
e
. (Nesta equação apenas
e
aparecem explicitamente.)
Passo 2
Relembrando a definição e propriedades do operador transposta (uma mini-aula):
- Se
é uma matriz com entrada igual a , então a transposta é a matriz cujas entradas são . Em palavras: a transposta troca linhas por colunas. - Propriedades úteis (válidas para todas as matrizes de ordem compatível):
- Exemplo concreto e rápido para fixar: se
A propriedade
significa que a transposta é linear relativamente à soma.]
Passo 3
Aplique a propriedade da transposta à expressão dada. Como
, a equação fica
Isolando
(subtraindo
dos dois lados), obtemos
Aqui usei a propriedade de que a soma/subtração de matrizes obedece as mesmas operações escalares elemento a elemento.
Passo 4
Para recuperar
a partir de
, aplicamos a transposta em ambos os lados da igualdade. Usando
e a linearidade da transposta sobre a diferença, temos
Não simplifiquei ainda a transposta da diferença nesta linha — isso vem no próximo passo.
Passo 5
Agora usamos a propriedade
e
. Assim
Portanto chegamos à expressão de
em função de
e
.