Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
(A+X)^{t}=B;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
  • As matrizes A, B, C, D e X são inversíveis e têm a mesma ordem.
  • Todas as equações dadas no enunciado têm solução (aqui só temos uma delas).
  • A equação que precisamos resolver é:
(A+X)^{t}=B.
O que se pede: expressar a matriz X em função de A, B, C e D. (Nesta equação apenas A e B aparecem explicitamente.)

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades do operador transposta (uma mini-aula):
  • Se M é uma matriz com entrada (i,j) igual a m_{ij}, então a transposta M^{t} é a matriz cujas entradas são m_{ji}. Em palavras: a transposta troca linhas por colunas.
  • Propriedades úteis (válidas para todas as matrizes de ordem compatível): (M+N)^{t}=M^{t}+N^{t}, \qquad (M-N)^{t}=M^{t}-N^{t}, \qquad (M^{t})^{t}=M.
  • Exemplo concreto e rápido para fixar: se
M=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix}, \qquad \text{então}\qquad M^{t}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}.ã
A propriedade (M+N)^{t}=M^{t}+N^{t} significa que a transposta é linear relativamente à soma.]

Passo 3

Aplique a propriedade da transposta à expressão dada. Como (A+X)^{t}=A^{t}+X^{t}, a equação fica
A^{t}+X^{t}=B.
Isolando X^{t} (subtraindo A^{t} dos dois lados), obtemos
X^{t}=B-A^{t}.
Aqui usei a propriedade de que a soma/subtração de matrizes obedece as mesmas operações escalares elemento a elemento.

Passo 4

Para recuperar X a partir de X^{t}, aplicamos a transposta em ambos os lados da igualdade. Usando (M^{t})^{t}=M e a linearidade da transposta sobre a diferença, temos
X=(X^{t})^{t}=(B-A^{t})^{t}.
Não simplifiquei ainda a transposta da diferença nesta linha — isso vem no próximo passo.

Passo 5

Agora usamos a propriedade (M-N)^{t}=M^{t}-N^{t} e (A^{t})^{t}=A. Assim
(B-A^{t})^{t}=B^{t}-(A^{t})^{t}=B^{t}-A.
Portanto chegamos à expressão de X em função de A e B.

Resposta

X=B^{t}-A

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