São dadas uma função diferenciável (f) junto a uma aproximação linear local (L) de (f) num ponto P. Use a informação dada para determinar o ponto P.
(f(x, y, z)=x y+z^{2} ; L(x, y, z)=y+2 z-1)
(f(x, y, z)=x y+z^{2} ; L(x, y, z)=y+2 z-1)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a função diferenciável
de três variáveis:
- É dada uma aproximação linear (linearização) local
de num ponto . A aproximação fornecida é
- O que se pede: determinar as coordenadas do ponto
onde a linearização de é exatamente a expressão acima.
Informações relevantes que vou usar:
- A linearização de
no ponto tem forma padrão (ver passo seguinte) envolvendo e as derivadas parciais de em . - A igualdade entre a linearização simbólica e a expressão numérica dada deve valer para todos
próximos de , portanto os coeficientes das variáveis e o termo constante devem coincidir.
Passo 2
Relembre: fórmula da aproximação linear (linearização) em várias variáveis.
- Se
é diferenciável em , a aproximação linear de perto de é
- Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . -
é a derivada parcial em relação a avaliada em . -
é a derivada parcial em relação a avaliada em . -
é o valor da função no ponto .
-
- A ideia: a linearização é a melhor aproximação afim de
perto de ; quando comparada com a forma dada, basta igualar coeficientes para recuperar .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e escrevê-las em
.
- Derivadas parciais gerais:
- Avaliando em
: - O valor da função em
é
Passo 4
Escrever a linearização em função de
e expandir para obter coeficientes explícitos.
- Usando a fórmula da linearização:
- Expandindo termo a termo:
- Agrupando termos semelhantes (colocando os coeficientes de
e o termo constante): Ou seja, a linearização em tem coeficiente de igual a , de igual a , de igual a e termo constante igual a .
Passo 5
Comparar a forma geral obtida com a expressão dada
e montar o sistema de equações para
.
- Coeficiente de
: deve ser igual ao coeficiente de em , que é . Então - Coeficiente de
: deve igualar . Então - Coeficiente de
: deve igualar . Então - Termo constante:
deve ser igual a . Então
Passo 6
Resolver o sistema passo a passo e checar consistência.
- Já temos
e . A partir de temos . - Verificar o termo constante: com
, , , que satisfaz a condição . Portanto as três equações são compatíveis e a solução é
Passo 7
Verificação final substituindo
na fórmula da linearização:
- As derivadas em
são , , . - O valor da função em
é . - A linearização fica
que coincide exatamente com a expressão dada. Assim a solução está correta.