São dadas uma função diferenciável (f) junto a uma aproximação linear local (L) de (f) num ponto P. Use a informação dada para determinar o ponto P.
(f(x, y, z)=x y+z^{2} ; L(x, y, z)=y+2 z-1)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função diferenciável f de três variáveis:
f(x,y,z)=x y+z^{2}.
  • É dada uma aproximação linear (linearização) local L de f num ponto P. A aproximação fornecida é
L(x,y,z)=y+2z-1.
  • O que se pede: determinar as coordenadas do ponto P onde a linearização de f é exatamente a expressão acima.
Informações relevantes que vou usar:
  • A linearização de f no ponto P=(a,b,c) tem forma padrão (ver passo seguinte) envolvendo f(a,b,c) e as derivadas parciais de f em P.
  • A igualdade entre a linearização simbólica e a expressão numérica dada deve valer para todos x,y,z próximos de P, portanto os coeficientes das variáveis e o termo constante devem coincidir.

Passo 2

Relembre: fórmula da aproximação linear (linearização) em várias variáveis.
  • Se f é diferenciável em P=(a,b,c), a aproximação linear de f perto de P é
L(x,y,z)=f(a,b,c)+f_x(a,b,c)\bigl(x-a\bigr)+f_y(a,b,c)\bigl(y-b\bigr)+f_z(a,b,c)\bigl(z-c\bigr).
  • Aqui:
    • f_x(a,b,c) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em P.
    • f_y(a,b,c) é a derivada parcial em relação a y avaliada em P.
    • f_z(a,b,c) é a derivada parcial em relação a z avaliada em P.
    • f(a,b,c) é o valor da função no ponto P.
  • A ideia: a linearização é a melhor aproximação afim de f perto de P; quando comparada com a forma dada, basta igualar coeficientes para recuperar a,b,c.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=x y+z^{2} e escrevê-las em P=(a,b,c).
  • Derivadas parciais gerais: f_x(x,y,z)=y,\qquad f_y(x,y,z)=x,\qquad f_z(x,y,z)=2z.
  • Avaliando em P=(a,b,c): f_x(a,b,c)=b,\qquad f_y(a,b,c)=a,\qquad f_z(a,b,c)=2c.
  • O valor da função em P é f(a,b,c)=a b + c^{2}.

Passo 4

Escrever a linearização em função de a,b,c e expandir para obter coeficientes explícitos.
  • Usando a fórmula da linearização:
L(x,y,z)=a b + c^{2} + b(x-a) + a(y-b) + 2c(z-c).
  • Expandindo termo a termo: L(x,y,z)=a b + c^{2} + b x - b a + a y - a b + 2c z - 2c^{2}.
  • Agrupando termos semelhantes (colocando os coeficientes de x,y,z e o termo constante): L(x,y,z)=\bigl(b\bigr)x + \bigl(a\bigr)y + \bigl(2c\bigr)z -\bigl(a b + c^{2}\bigr).Ou seja, a linearização em P tem coeficiente de x igual a b, de y igual a a, de z igual a 2c e termo constante igual a -\bigl(a b + c^{2}\bigr).

Passo 5

Comparar a forma geral obtida com a expressão dada L(x,y,z)=y+2z-1 e montar o sistema de equações para a,b,c.
  • Coeficiente de x: b deve ser igual ao coeficiente de x em y+2z-1, que é 0. Então b=0.
  • Coeficiente de y: a deve igualar 1. Então a=1.
  • Coeficiente de z: 2c deve igualar 2. Então 2c=2 \quad\Rightarrow\quad c=1.
  • Termo constante: -\bigl(a b + c^{2}\bigr) deve ser igual a -1. Então a b + c^{2}=1.

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo e checar consistência.
  • Já temos a=1 e c=1. A partir de b=0 temos b=0.
  • Verificar o termo constante: com a=1, b=0, c=1, a b + c^{2}=1\cdot 0 + 1^{2}=0+1=1,que satisfaz a condição a b + c^{2}=1. Portanto as três equações são compatíveis e a solução é (a,b,c)=(1,0,1).

Passo 7

Verificação final substituindo P=(1,0,1) na fórmula da linearização:
  • As derivadas em P são f_x(1,0,1)=0, f_y(1,0,1)=1, f_z(1,0,1)=2.
  • O valor da função em P é f(1,0,1)=1\cdot 0 + 1^{2}=1.
  • A linearização fica L(x,y,z)=1 + 0\cdot(x-1) + 1\cdot(y-0) + 2\cdot(z-1)=y+2z-1,que coincide exatamente com a expressão dada. Assim a solução está correta.

Resposta

(1,0,1)

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