Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
(A \cdot X)^{-1}=B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do enunciado):
  • A, B, C, D e X são matrizes inversíveis da mesma ordem.
  • A equação considerada é
(A\cdot X)^{-1}=B,
e essa equação tem solução.
O que se pede: expressar a matriz X em função de A e B (as C e D são fornecidas no enunciado mas não entram nesta equação).

Passo 2

Lembrar uma propriedade fundamental de inversas de produto de matrizes. Para quaisquer matrizes inversíveis M e N da mesma ordem vale a identidade
(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}.
Explicação didática: isso significa que a inversa do produto é o produto das inversas na ordem inversa. A razão é simples: multiplica-se MN pela matriz N^{-1}M^{-1} e obtém-se a identidade:
(MN)(N^{-1}M^{-1})=M(NN^{-1})M^{-1}=M I M^{-1}=MM^{-1}=I,
e análogo à direita. Como a inversa é única, a igualdade acima é válida.

Passo 3

Aplicar a propriedade ao produto A\cdot X. Usando a identidade do passo anterior com M=A e N=X obtemos
(A X)^{-1}=X^{-1}A^{-1}.
Pelo enunciado sabemos que (A X)^{-1}=B. Portanto podemos igualar:
X^{-1}A^{-1}=B.

Passo 4

Isolar X^{-1}. Multiplicamos ambos os lados da igualdade por A à direita. Justificativa: multiplicar por A é permitido porque A é inversível; além disso A^{-1}A=I. Fazendo isso:
X^{-1}A^{-1}A = B A.
Como A^{-1}A=I segue que
X^{-1}=B A.
Observação: a ordem dos fatores é importante em álgebra de matrizes; aqui multiplicamos à direita porque A^{-1} estava à direita de X^{-1}.

Passo 5

Obter X a partir de X^{-1}. Como X é inversível, invertemos ambos os lados da igualdade X^{-1}=BA. A inversa de um produto faz-se trocando a ordem e invertendo cada fator (passo 2). Assim:
X = (BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}.
Explicação: primeiro a inversa de BA é A^{-1}B^{-1} pela propriedade (MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1} aplicada a M=B, N=A.

Resposta

X = A^{-1}B^{-1}

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