Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do enunciado):
-
e são matrizes inversíveis da mesma ordem. - A equação considerada é
e essa equação tem solução.
O que se pede: expressar a matriz em função de
e
(as
e
são fornecidas no enunciado mas não entram nesta equação).
O que se pede: expressar a matriz
Passo 2
Lembrar uma propriedade fundamental de inversas de produto de matrizes. Para quaisquer matrizes inversíveis
e
da mesma ordem vale a identidade
Explicação didática: isso significa que a inversa do produto é o produto das inversas na ordem inversa. A razão é simples: multiplica-se
pela matriz
e obtém-se a identidade:
e análogo à direita. Como a inversa é única, a igualdade acima é válida.
Passo 3
Aplicar a propriedade ao produto
. Usando a identidade do passo anterior com
e
obtemos
Pelo enunciado sabemos que
. Portanto podemos igualar:
Passo 4
Isolar
. Multiplicamos ambos os lados da igualdade por
à direita. Justificativa: multiplicar por
é permitido porque
é inversível; além disso
. Fazendo isso:
Como
segue que
Observação: a ordem dos fatores é importante em álgebra de matrizes; aqui multiplicamos à direita porque
estava à direita de
.
Passo 5
Obter
a partir de
. Como
é inversível, invertemos ambos os lados da igualdade
. A inversa de um produto faz-se trocando a ordem e invertendo cada fator (passo 2). Assim:
Explicação: primeiro a inversa de
é
pela propriedade
aplicada a
,
.