Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
B X-A=C.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes dados diretamente do que foi dito):
  • A,B,C,D e X são matrizes inversíveis da mesma ordem.
  • Todas as equações abaixo têm solução; neste item a equação fornecida é
B X - A = C.
  • A tarefa é expressar X em função de A,B,C e D (quando aplicável). Aqui a equação envolve explicitamente A,B,C; a matriz D aparece entre as dadas mas não é usada nesta equação.

Passo 2

Entendendo o que significa “matriz inversível” — isto é essencial para manipular a equação:
  • Uma matriz B é inversível se existe uma matriz \,B^{-1}\, tal que
B^{-1} B = I \qquad\text{e}\qquad B B^{-1} = I,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem (a matriz com 1s na diagonal e 0s fora dela).
  • Essa propriedade permite “desfazer” multiplicações por B desde que se multiplique do lado correto (esquerdo ou direito) correspondente à posição de B na expressão.

Passo 3

Vamos isolar X começando por reorganizar a equação dada. Somar A aos dois lados é permitido porque a adição de matrizes segue as mesmas regras escalares (é associativa e comutativa). Assim:
B X - A = C \quad\Longrightarrow\quad B X = A + C.
Explanação: somar A em ambos os lados preserva a igualdade; (A+C) é a soma de matrizes.

Passo 4

Agora precisamos “livrar-nos” do B que está multiplicando X à esquerda. Como B é inversível, multiplica-se ambos os lados da igualdade pela sua inversa \,B^{-1}\, à esquerda. É crucial multiplicar à esquerda porque B está à esquerda de X (matrizes, em geral, não comutam):
B^{-1}\bigl(B X\bigr) = B^{-1}\bigl(A + C\bigr).
Propriedade usada: B^{-1}B=I.

Passo 5

Simplificando o lado esquerdo usando B^{-1}B=I e lembrando que a identidade atua como neutro da multiplicação:
I X = B^{-1}\bigl(A + C\bigr).
E I X = X, portanto
X = B^{-1}\bigl(A + C\bigr).
Observação importante: a ordem dos fatores importa; a solução correta é \,B^{-1}(A+C)\, e não (A+C)B^{-1} salvo se B^{-1} comutasse com A+C, o que não deve ser assumido.

Passo 6

Verificação rápida (substituição para conferir): calcular B X - A com a solução encontrada:
B\bigl(B^{-1}(A+C)\bigr)-A = \bigl(BB^{-1}\bigr)(A+C)-A = I(A+C)-A = A+C-A = C,
o que confirma que a expressão encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

X = B^{-1}\bigl(A + C\bigr)

Exercícios relacionados