Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes dados diretamente do que foi dito):
-
e são matrizes inversíveis da mesma ordem. - Todas as equações abaixo têm solução; neste item a equação fornecida é
- A tarefa é expressar
em função de e (quando aplicável). Aqui a equação envolve explicitamente ; a matriz aparece entre as dadas mas não é usada nesta equação.
Passo 2
Entendendo o que significa “matriz inversível” — isto é essencial para manipular a equação:
- Uma matriz
é inversível se existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade da mesma ordem (a matriz com
s na diagonal e
s fora dela).
- Essa propriedade permite “desfazer” multiplicações por
desde que se multiplique do lado correto (esquerdo ou direito) correspondente à posição de na expressão.
Passo 3
Vamos isolar
começando por reorganizar a equação dada. Somar
aos dois lados é permitido porque a adição de matrizes segue as mesmas regras escalares (é associativa e comutativa). Assim:
Explanação: somar
em ambos os lados preserva a igualdade;
é a soma de matrizes.
Passo 4
Agora precisamos “livrar-nos” do
que está multiplicando
à esquerda. Como
é inversível, multiplica-se ambos os lados da igualdade pela sua inversa
à esquerda. É crucial multiplicar à esquerda porque
está à esquerda de
(matrizes, em geral, não comutam):
Propriedade usada:
.
Passo 5
Simplificando o lado esquerdo usando
e lembrando que a identidade atua como neutro da multiplicação:
E
, portanto
Observação importante: a ordem dos fatores importa; a solução correta é
e não
salvo se
comutasse com
, o que não deve ser assumido.
Passo 6
Verificação rápida (substituição para conferir): calcular
com a solução encontrada:
o que confirma que a expressão encontrada satisfaz a equação original.