Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
Passo 1
O enunciado dá que as matrizes
e
são inversíveis e de mesma ordem, e que todas as equações listadas têm solução. A equação que temos que resolver é
O pedido é expressar a matriz
em função de
(e
, se necessário). (Nesta equação particular,
não aparece.)
Passo 2
Vamos primeiro isolar os termos com
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Agora fatoramos
à direita (isso é válido porque a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos agrupar
):
Passo 3
Multiplicação pela matriz inversa: para resolver uma equação do tipo
(onde
e
são matrizes), se
for inversível podemos multiplicar à esquerda por
e obter
. Aqui, a equação
pode ser multiplicada por
em ambos os lados para ficar mais direta:
Como o enunciado garante que a equação tem solução e que podemos expressar
, assumimos que
é inversível. Multiplicando à esquerda por
obtemos
Pela definição de inversa temos
(matriz identidade), então
ou seja
Também podemos escrever a mesma solução de outra forma, usando que
. Assim
Passo 4
Comentário didático e pequena checagem numérica: a operação chave foi fatorar
à direita em
e depois multiplicar à esquerda pela inversa de
. É importante lembrar que, em geral,
, então ao “dividir” por uma matriz só se pode multiplicar pela inversa no lado correto (aqui, à esquerda). Para ver um exemplo simples com escalares (que são matrizes
), tome
,
,
. A equação scalar
leva a
, então
. Isso coincide com a fórmula
.