Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
A X+C=B X

Passo 1

O enunciado dá que as matrizes A, B, C, D e X são inversíveis e de mesma ordem, e que todas as equações listadas têm solução. A equação que temos que resolver é
A X + C = B X.
O pedido é expressar a matriz X em função de A, B, C (e D, se necessário). (Nesta equação particular, D não aparece.)

Passo 2

Vamos primeiro isolar os termos com X. Subtraindo B X de ambos os lados obtemos
A X - B X = -C.
Agora fatoramos X à direita (isso é válido porque a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos agrupar (A-B)X):
(A - B)\,X = -C.

Passo 3

Multiplicação pela matriz inversa: para resolver uma equação do tipo M X = Y (onde M e Y são matrizes), se M for inversível podemos multiplicar à esquerda por M^{-1} e obter X = M^{-1}Y. Aqui, a equação (A-B)X=-C pode ser multiplicada por -1 em ambos os lados para ficar mais direta:
(B-A)\,X = C.
Como o enunciado garante que a equação tem solução e que podemos expressar X, assumimos que B-A é inversível. Multiplicando à esquerda por (B-A)^{-1} obtemos
(B-A)^{-1}(B-A)X = (B-A)^{-1}C.
Pela definição de inversa temos (B-A)^{-1}(B-A)=I (matriz identidade), então
I X = (B-A)^{-1}C,
ou seja
X = (B-A)^{-1}C.
Também podemos escrever a mesma solução de outra forma, usando que B-A=-(A-B). Assim
X = -(A-B)^{-1}C.

Passo 4

Comentário didático e pequena checagem numérica: a operação chave foi fatorar X à direita em (A-B)X e depois multiplicar à esquerda pela inversa de (B-A). É importante lembrar que, em geral, MN\neq NM, então ao “dividir” por uma matriz só se pode multiplicar pela inversa no lado correto (aqui, à esquerda). Para ver um exemplo simples com escalares (que são matrizes 1\times1), tome A=2, B=5, C=3. A equação scalar 2X+3=5X leva a (5-2)X=3, então X=(5-2)^{-1}\cdot 3 = \tfrac{1}{3}\cdot 3 = 1. Isso coincide com a fórmula X=(B-A)^{-1}C.

Resposta

X=(B-A)^{-1}C

Exercícios relacionados