Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
(A-B) X=C

Passo 1

O enunciado dá que A,B,C,D e X são matrizes inversíveis da mesma ordem e que a equação
(A-B)X = C
tem solução. O que se pede é expressar a matriz X em função de A,B,C,D (aqui só aparece A,B,C) usando propriedades das matrizes.

Passo 2

Vamos usar a informação extra de que X e C são inversíveis. Começo manipulando a equação dada: como X é inversível, existe X^{-1}. Multiplico a equação à direita por X^{-1}; lembre-se que multiplicação de matrizes é associativa, então isto é permitido e vale
(A-B)X X^{-1} = C X^{-1}.
Como X X^{-1}=I (onde I é a matriz identidade), obtemos
(A-B) = C X^{-1}.

Passo 3

Da igualdade (A-B)=C X^{-1} e do fato de que C e X^{-1} são inversíveis, segue que (A-B) é produto de matrizes inversíveis. Uma propriedade importante é: o produto de matrizes inversíveis é inversível e
(C X^{-1})^{-1} = X C^{-1}.
Portanto (A-B) é inversível, e seu inverso existe. Esse passo justifica que podemos multiplicar à esquerda pela inversa de (A-B).

Passo 4

Agora volte à equação original e multiplique à esquerda por (A-B)^{-1}. Usando associatividade e (A-B)^{-1}(A-B)=I obtemos
(A-B)^{-1}(A-B)X = (A-B)^{-1}C
ou seja
I X = (A-B)^{-1}C.
Como I X = X, concluímos
X = (A-B)^{-1}C.

Passo 5

Observações didáticas rápidas e úteis para a prova:
  • A regra geral: se uma equação matricial tem a forma M X = C e M é inversível, então X = M^{-1}C. Deve-se sempre multiplicar pelo inverso do lado onde o coeficiente M aparece (aqui à esquerda).
  • Não confundir ordem: em geral M^{-1}C \neq C M^{-1}.
  • Exemplo simples para fixar: se A=2I e B=I então A-B=I e X=(A-B)^{-1}C=I\cdot C=C.

Resposta

X = (A-B)^{-1}C

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