Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes inversíveis da mesma ordem e que a equação
tem solução. O que se pede é expressar a matriz
em função de
(aqui só aparece
) usando propriedades das matrizes.
Passo 2
Vamos usar a informação extra de que
e
são inversíveis. Começo manipulando a equação dada: como
é inversível, existe
. Multiplico a equação à direita por
; lembre-se que multiplicação de matrizes é associativa, então isto é permitido e vale
Como
(onde
é a matriz identidade), obtemos
Passo 3
Da igualdade
e do fato de que
e
são inversíveis, segue que
é produto de matrizes inversíveis. Uma propriedade importante é: o produto de matrizes inversíveis é inversível e
Portanto
é inversível, e seu inverso existe. Esse passo justifica que podemos multiplicar à esquerda pela inversa de
.
Passo 4
Agora volte à equação original e multiplique à esquerda por
. Usando associatividade e
obtemos
ou seja
Como
, concluímos
Passo 5
Observações didáticas rápidas e úteis para a prova:
- A regra geral: se uma equação matricial tem a forma
e é inversível, então . Deve-se sempre multiplicar pelo inverso do lado onde o coeficiente aparece (aqui à esquerda). - Não confundir ordem: em geral
. - Exemplo simples para fixar: se
e então e .