Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
A^{2} X^{-1} B^{-1}=A C

Passo 1

O enunciado dá a equação entre matrizes invertíveis e pede para escrever X em função de A,B,C,D (aqui só aparece A,B,C na equação dada). As informações relevantes que temos:
  • A,B,C,D,X são matrizes invertíveis da mesma ordem.
  • A equação fornecida é A^{2} X^{-1} B^{-1}=A C.
  • É garantido que a equação tem solução (portanto todas as inversas que usaremos existem).
O que se pede explicitamente nesta questão é encontrar uma expressão fechada para X usando A,B,C (e possivelmente D, se fosse necessário).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: queremos isolar X^{-1}. Como A^{2} é invertível (produto de invertíveis), podemos multiplicar a equação à esquerda por (A^{2})^{-1}=A^{-2} para eliminar A^{2}. Isso é permitido porque multiplicar uma igualdade por uma matriz inversível à esquerda preserva a igualdade (atenção: multiplicação de matrizes não comuta, então a ordem importa).
Aplicando A^{-2} à esquerda em ambas as parcelas da igualdade obtemos:
A^{-2}\bigl(A^{2} X^{-1} B^{-1}\bigr)=A^{-2}(A C).

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo usando A^{-2}A^{2}=I (matriz identidade) e lembrando que I é elemento neutro para multiplicação, temos:
X^{-1} B^{-1}=A^{-2}A C.
Agora simplificamos no lado direito: A^{-2}A=(A^{-1}A^{-1})A=A^{-1}. Logo
X^{-1} B^{-1}=A^{-1} C.

Passo 4

Queremos X^{-1} sozinho, então multiplicamos a igualdade à direita por B (novamente a ordem importa; multiplicar pela inversa de B^{-1} à direita é a operação correta). Multiplicando por B à direita em ambos os lados:
\bigl(X^{-1} B^{-1}\bigr)B=(A^{-1} C)B.

Passo 5

No lado esquerdo B^{-1}B=I, portanto:
X^{-1}=A^{-1} C B.
Aqui vale destacar a propriedade usada: ao multiplicar produtos de matrizes, não se pode trocar a ordem; por isso realizamos as multiplicações nos lados apropriados (esquerda ou direita) conforme necessário.

Passo 6

Agora invertemos ambos os lados para obter X. Usamos a propriedade geral de inverso de produto: para matrizes invertíveis P,Q tem-se (P Q)^{-1}=Q^{-1} P^{-1}. Aplicando isso a X^{-1}=A^{-1} C B obtemos
X=\bigl(A^{-1} C B\bigr)^{-1}.

Passo 7

Aplicando a regra do inverso de um produto em três fatores:
X=\;B^{-1} C^{-1} \bigl(A^{-1}\bigr)^{-1}.
E \bigl(A^{-1}\bigr)^{-1}=A. Portanto
X=B^{-1} C^{-1} A.

Passo 8

Verificação rápida (importante para a prova): calcule A^{2}X^{-1}B^{-1} com o X encontrado. Primeiro X^{-1}=A^{-1} C B. Então
A^{2}X^{-1}B^{-1}=A^{2}\bigl(A^{-1} C B\bigr)B^{-1}=A^{2}A^{-1} C \underbrace{(B B^{-1})}_{I}=A C,
o que coincide com a hipótese inicial, confirmando que a solução está correta.

Resposta

X=B^{-1}C^{-1}A

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