Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
Passo 1
O enunciado dá a equação entre matrizes invertíveis e pede para escrever
em função de
(aqui só aparece
na equação dada). As informações relevantes que temos:
-
são matrizes invertíveis da mesma ordem. - A equação fornecida é
- É garantido que a equação tem solução (portanto todas as inversas que usaremos existem).
O que se pede explicitamente nesta questão é encontrar uma expressão fechada para
usando
(e possivelmente
, se fosse necessário).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: queremos isolar
. Como
é invertível (produto de invertíveis), podemos multiplicar a equação à esquerda por
para eliminar
. Isso é permitido porque multiplicar uma igualdade por uma matriz inversível à esquerda preserva a igualdade (atenção: multiplicação de matrizes não comuta, então a ordem importa).
Aplicando
à esquerda em ambas as parcelas da igualdade obtemos:
Passo 3
Simplificando o lado esquerdo usando
(matriz identidade) e lembrando que
é elemento neutro para multiplicação, temos:
Agora simplificamos no lado direito:
. Logo
Passo 4
Queremos
sozinho, então multiplicamos a igualdade à direita por
(novamente a ordem importa; multiplicar pela inversa de
à direita é a operação correta). Multiplicando por
à direita em ambos os lados:
Passo 5
No lado esquerdo
, portanto:
Aqui vale destacar a propriedade usada: ao multiplicar produtos de matrizes, não se pode trocar a ordem; por isso realizamos as multiplicações nos lados apropriados (esquerda ou direita) conforme necessário.
Passo 6
Agora invertemos ambos os lados para obter
. Usamos a propriedade geral de inverso de produto: para matrizes invertíveis
tem-se
. Aplicando isso a
obtemos
Passo 7
Aplicando a regra do inverso de um produto em três fatores:
E
. Portanto
Passo 8
Verificação rápida (importante para a prova): calcule
com o
encontrado. Primeiro
. Então
o que coincide com a hipótese inicial, confirmando que a solução está correta.