Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
\frac{1}{3} A B X=C.

Passo 1

O enunciado dá a equação \frac{1}{3} A B X = C onde A,B,C,X são matrizes quadradas da mesma ordem e todas são inversíveis (e a equação tem solução). A pergunta é: expressar X em função de A,B,C (e D aparece no enunciado geral, mas nesta equação específica não é usado).
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
  • A é inversível, logo existe A^{-1}.
  • B é inversível, logo existe B^{-1}.
  • A equação dada é \frac{1}{3} A B X = C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: eliminar o escalar \tfrac{1}{3}. Multiplicamos ambos os lados da equação por 3. Isso é permitido porque multiplicação escalar em matrizes com número não nulo comuta e preserva igualdade. Assim obtemos
A B X = 3 C.

Passo 3

Agora queremos “isolara” X. Como A e B são inversíveis, o produto AB também é inversível e a inversa satisfaz a regra importante
(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.
Explicando por que essa igualdade vale: multiplicando B^{-1}A^{-1} por AB obtemos
(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} I B = B^{-1}B = I,
logo B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB.

Passo 4

Multiplicamos à esquerda a equação ABX=3C pela inversa (AB)^{-1}. Porque multiplicação de matrizes é associativa, isso isola X:
(AB)^{-1}(AB)X = (AB)^{-1}(3C).
O lado esquerdo simplifica para IX=X, então
X = (AB)^{-1}(3C).

Passo 5

Agora apenas simplificamos a expressão usando (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} e sabendo que o escalar 3 pode ser tirado para a frente:
X = 3\,(AB)^{-1}C = 3\,B^{-1}A^{-1}C.
Observação didática: a ordem B^{-1}A^{-1} é crucial — não se inverte a ordem ao trocar de lugar sem querer. É por isso que a inversa do produto é o produto das inversas na ordem inversa.

Passo 6

Verificação rápida (arrazoada): substituindo X=3B^{-1}A^{-1}C na equação original,
\frac{1}{3}ABX=\frac{1}{3}AB(3B^{-1}A^{-1}C)=ABB^{-1}A^{-1}C=AA^{-1}C=IC=C,
logo a expressão encontrada satisfaz a equação, como esperado.

Resposta

X = 3\,B^{-1}A^{-1}C

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