Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
são matrizes quadradas da mesma ordem e todas são inversíveis (e a equação tem solução). A pergunta é: expressar
em função de
(e
aparece no enunciado geral, mas nesta equação específica não é usado).
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
-
é inversível, logo existe . -
é inversível, logo existe . - A equação dada é
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: eliminar o escalar
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
. Isso é permitido porque multiplicação escalar em matrizes com número não nulo comuta e preserva igualdade. Assim obtemos
Passo 3
Agora queremos “isolara”
. Como
e
são inversíveis, o produto
também é inversível e a inversa satisfaz a regra importante
Explicando por que essa igualdade vale: multiplicando
por
obtemos
logo
é a inversa de
.
Passo 4
Multiplicamos à esquerda a equação
pela inversa
. Porque multiplicação de matrizes é associativa, isso isola
:
O lado esquerdo simplifica para
, então
Passo 5
Agora apenas simplificamos a expressão usando
e sabendo que o escalar
pode ser tirado para a frente:
Observação didática: a ordem
é crucial — não se inverte a ordem ao trocar de lugar sem querer. É por isso que a inversa do produto é o produto das inversas na ordem inversa.
Passo 6
Verificação rápida (arrazoada): substituindo
na equação original,
logo a expressão encontrada satisfaz a equação, como esperado.