Se A, B, C, D e X são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz X em função de A, B, C e D em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
A X^{t} B=A+B.

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A X^{t} B = A + B,
onde A,B,C,D,X são matrizes inversíveis da mesma ordem e a equação tem solução. O que nos pedem é expressar X em função de A e B (não aparecem C,D nesse caso). Informações relevantes extraídas:
  • As matrizes A e B são inversíveis, então A^{-1} e B^{-1} existem.
  • A incógnita é X; aparece transposta em X^{t}.
  • A equação envolve soma e produto de matrizes.

Passo 2

Estratégia (sem calcular ainda): para isolar X numa equação do tipo A X^{t} B = A + B usamos inversas de A e B para “desfazer” os produtos à esquerda e à direita. Isso funciona porque A e B são inversíveis. Em linhas gerais:
  • multiplicar à esquerda por A^{-1} elimina o A,
  • multiplicar à direita por B^{-1} elimina o B,
  • assim teremos X^{t} isolada, e então transpondo obtemos X.

Passo 3

Multiplicar a equação dada à esquerda por A^{-1}. Como produto matricial não comuta, é importante respeitar a ordem:
A^{-1}(A X^{t} B) = A^{-1}(A + B).
Pela associatividade do produto matricial a esquerda se simplifica:
(A^{-1}A) X^{t} B = A^{-1}A + A^{-1}B.
E como A^{-1}A = I (matriz identidade),
I \, X^{t} B = I + A^{-1}B,
ou simplesmente
X^{t} B = I + A^{-1}B.

Passo 4

Agora multiplicar à direita por B^{-1} para eliminar o B:
(X^{t} B) B^{-1} = (I + A^{-1}B) B^{-1}.
Pelo mesmo motivo que antes, B B^{-1}=I, logo
X^{t} = (I + A^{-1}B) B^{-1}.
Aqui já temos X^{t} isolada. Observação didática: multiplicar por inversas é análogo a dividir por números quando trabalhamos em escalares — a diferença é que a ordem importa para matrizes.

Passo 5

Para obter X transponha ambos os lados. Lembre que (MN)^t = N^t M^t e que a transposta de soma é soma das transpostas. Aplicando transposição:
X = \big((I + A^{-1}B) B^{-1}\big)^{t}.
Usando (MN)^t = N^t M^t:
X = (B^{-1})^{t} (I + A^{-1}B)^{t}.

Passo 6

Explodir a transposta da soma e do produto interno:
(I + A^{-1}B)^{t} = I^{t} + (A^{-1}B)^{t} = I + B^{t} (A^{-1})^{t}.
Logo
X = (B^{-1})^{t}\big(I + B^{t} (A^{-1})^{t}\big).
Agora use a relação (M^{-1})^{t} = (M^{t})^{-1}. Assim (B^{-1})^{t} = (B^{t})^{-1} e (A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}. Multiplicando, note que (B^{-1})^{t} B^{t} = I porque (B^{-1})^{t} = (B^{t})^{-1}. Portanto, ao multiplicar o parêntese:
X = (B^{-1})^{t} + (B^{-1})^{t} B^{t} (A^{-1})^{t} = (B^{-1})^{t} + I\,(A^{-1})^{t}.
Logo
X = (B^{-1})^{t} + (A^{-1})^{t}.

Passo 7

Interpretar e simplificar a expressão final: a soma de transpostas de inversas pode ser escrita como a transposta da soma das inversas, porque (M+N)^{t}=M^{t}+N^{t}. Assim uma forma compacta é
X = \big(A^{-1} + B^{-1}\big)^{t}.
Verificação rápida (substituição): se X^{t}=A^{-1}+B^{-1} então
A X^{t} B = A(A^{-1}+B^{-1})B = A A^{-1} B + A B^{-1} B = B + A,
o que coincide com o enunciado (soma comutativa aqui só no resultado). Tudo bate.

Resposta

\displaystyle X=\big(A^{-1}+B^{-1}\big)^{t}

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