Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem e que todas as equações abaixo tem solução então expresse a matriz
em função de
e
em cada caso a seguir, usando as propriedades das matrizes:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação matricial
onde
são matrizes inversíveis da mesma ordem e a equação tem solução. O que nos pedem é expressar
em função de
e
(não aparecem
nesse caso). Informações relevantes extraídas:
- As matrizes
e são inversíveis, então e existem. - A incógnita é
; aparece transposta em . - A equação envolve soma e produto de matrizes.
Passo 2
Estratégia (sem calcular ainda): para isolar
numa equação do tipo
usamos inversas de
e
para “desfazer” os produtos à esquerda e à direita. Isso funciona porque
e
são inversíveis. Em linhas gerais:
- multiplicar à esquerda por
elimina o , - multiplicar à direita por
elimina o , - assim teremos
isolada, e então transpondo obtemos .
Passo 3
Multiplicar a equação dada à esquerda por
. Como produto matricial não comuta, é importante respeitar a ordem:
Pela associatividade do produto matricial a esquerda se simplifica:
E como
(matriz identidade),
ou simplesmente
Passo 4
Agora multiplicar à direita por
para eliminar o
:
Pelo mesmo motivo que antes,
, logo
Aqui já temos
isolada. Observação didática: multiplicar por inversas é análogo a dividir por números quando trabalhamos em escalares — a diferença é que a ordem importa para matrizes.
Passo 5
Para obter
transponha ambos os lados. Lembre que
e que a transposta de soma é soma das transpostas. Aplicando transposição:
Usando
:
Passo 6
Explodir a transposta da soma e do produto interno:
Logo
Agora use a relação
. Assim
e
. Multiplicando, note que
porque
. Portanto, ao multiplicar o parêntese:
Logo
Passo 7
Interpretar e simplificar a expressão final: a soma de transpostas de inversas pode ser escrita como a transposta da soma das inversas, porque
. Assim uma forma compacta é
Verificação rápida (substituição): se
então
o que coincide com o enunciado (soma comutativa aqui só no resultado). Tudo bate.