Questão 2. Considere as três matrizes A_{3 \times 2}, B_{3} e C_{2 \times 3}. Qual das expressões abaixo é possível de ser determinada?
a) B^{2}(A+C)
b) B A+C
c) C B+A
d) A C+B
e) A(B+C)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Matrizes fornecidas:
    • A é 3\times 2.
    • B é 3\times 3.
    • C é 2\times 3.
  • O enunciado pede: determinar quais das expressões abaixo são possíveis de ser calculadas (isto é, estão bem-definidas em termos de dimensão):
    a) B^{2}(A+C)
    b) B A + C
    c) C B + A
    d) A C + B
    e) A(B+C)

Passo 2

Relembrando regras essenciais (explicação bem didática e sem pular etapas):
  • Regra da multiplicação de matrizes: se X tem dimensão m\times n e Y tem dimensão p\times q, então o produto XY está definido se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y, ou seja n=p. Se definido, o produto XY tem dimensão m\times q.
\text{Se } X \in \mathbb{R}^{m\times n},\; Y\in\mathbb{R}^{p\times q},\quad XY \text{ está definido iff } n=p,\quad \text{e então } XY\in\mathbb{R}^{m\times q}.áã
  • Regra da adição de matrizes: duas matrizes podem ser somadas somente se tiverem exatamente a mesma dimensão. A soma mantém essa dimensão.
  • Potência de matriz: B^2 significa B\cdot B. Isso só faz sentido sem ambiguidades se B for quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Como B é 3\times3, B^2 está bem definido e é 3\times3.
  • Ordem das operações: parênteses indicam que a operação dentro deles deve ser verificada/avaliada primeiro (por exemplo em B^{2}(A+C) precisa-se verificar A+C antes de multiplicar por B^{2}).

Passo 3

Analisar a opção (a): B^{2}(A+C).
  • Primeiro, B^2 existe porque B é 3\times3; então B^2 é 3\times3.
  • Olhar para A+C: A é 3\times2 e C é 2\times3. Para somar, é preciso que as dimensões sejam iguais, mas 3\times2 \neq 2\times3. Logo A+C não está definido.
  • Como os parênteses exigem que A+C seja formado primeiro, a expressão inteira B^{2}(A+C) fica sem sentido (indefinida) porque A+C não existe.
Conclusão: (a) não é possível.

Passo 4

Analisar a opção (b): B A + C.
  • Calcular dimensão de BA: B é 3\times3, A é 3\times2. O produto BA está definido porque o número de colunas de B (3) é igual ao número de linhas de A (3). O resultado BA terá dimensão 3\times2.
  • C tem dimensão 2\times3.
  • Para somar BA + C é necessário que BA e C tenham a mesma dimensão. Aqui BA é 3\times2 e C é 2\times3: dimensões diferentes, portanto a soma não está definida.
Conclusão: (b) não é possível.

Passo 5

Analisar a opção (c): C B + A.
  • Calcular dimensão de CB: C é 2\times3, B é 3\times3. O produto CB está definido porque 3 (colunas de C) = 3 (linhas de B). O resultado CB terá dimensão 2\times3.
  • A tem dimensão 3\times2.
  • Para somar CB + A é preciso que CB e A tenham a mesma dimensão. Aqui CB é 2\times3 e A é 3\times2: não coincidem, logo a soma não existe.
Conclusão: (c) não é possível.

Passo 6

Analisar a opção (d): A C + B.
  • Calcular dimensão de AC: A é 3\times2, C é 2\times3. O produto AC está definido porque 2 (colunas de A) = 2 (linhas de C). O resultado AC terá dimensão 3\times3.
  • B tem dimensão 3\times3.
  • Como AC e B têm a mesma dimensão 3\times3, a soma AC + B está definida e o resultado será uma matriz 3\times3.
Conclusão: (d) é possível de ser determinada.

Passo 7

Analisar a opção (e): A(B+C).
  • Olhar para B+C: B é 3\times3 e C é 2\times3. Para somar é preciso mesmas dimensões; aqui 3\times3 \neq 2\times3, portanto B+C não está definido.
  • Os parênteses forçam B+C a ser calculado antes de multiplicar por A, então como B+C não existe, A(B+C) não existe.
Conclusão: (e) não é possível.

Passo 8

Resumo final (explicando em uma frase firme): entre as alternativas listadas, apenas a alternativa (d) produz operações todas bem-definidas (porque AC é 3\times3 e pode ser somada a B que também é 3\times3); as demais falham por incompatibilidade de dimensões em alguma soma ou produto intermediário.

Resposta

d) A C + B

Exercícios relacionados