Questão 2. Considere as três matrizes
e
. Qual das expressões abaixo é possível de ser determinada?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Matrizes fornecidas:
-
é . -
é . -
é .
-
-
O enunciado pede: determinar quais das expressões abaixo são possíveis de ser calculadas (isto é, estão bem-definidas em termos de dimensão):
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Relembrando regras essenciais (explicação bem didática e sem pular etapas):
- Regra da multiplicação de matrizes: se
tem dimensão e tem dimensão , então o produto está definido se, e somente se, o número de colunas de for igual ao número de linhas de , ou seja . Se definido, o produto tem dimensão .
-
Regra da adição de matrizes: duas matrizes podem ser somadas somente se tiverem exatamente a mesma dimensão. A soma mantém essa dimensão.
-
Potência de matriz:
significa . Isso só faz sentido sem ambiguidades se for quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Como é , está bem definido e é . -
Ordem das operações: parênteses indicam que a operação dentro deles deve ser verificada/avaliada primeiro (por exemplo em
precisa-se verificar antes de multiplicar por ).
Passo 3
Analisar a opção (a):
.
- Primeiro,
existe porque é ; então é . - Olhar para
: é e é . Para somar, é preciso que as dimensões sejam iguais, mas . Logo não está definido. - Como os parênteses exigem que
seja formado primeiro, a expressão inteira fica sem sentido (indefinida) porque não existe.
Conclusão: (a) não é possível.
Passo 4
Analisar a opção (b):
.
- Calcular dimensão de
: é , é . O produto está definido porque o número de colunas de (3) é igual ao número de linhas de (3). O resultado terá dimensão . -
tem dimensão . - Para somar
é necessário que e tenham a mesma dimensão. Aqui é e é : dimensões diferentes, portanto a soma não está definida.
Conclusão: (b) não é possível.
Passo 5
Analisar a opção (c):
.
- Calcular dimensão de
: é , é . O produto está definido porque 3 (colunas de ) = 3 (linhas de ). O resultado terá dimensão . -
tem dimensão . - Para somar
é preciso que e tenham a mesma dimensão. Aqui é e é : não coincidem, logo a soma não existe.
Conclusão: (c) não é possível.
Passo 6
Analisar a opção (d):
.
- Calcular dimensão de
: é , é . O produto está definido porque 2 (colunas de ) = 2 (linhas de ). O resultado terá dimensão . -
tem dimensão . - Como
e têm a mesma dimensão , a soma está definida e o resultado será uma matriz .
Conclusão: (d) é possível de ser determinada.
Passo 7
Analisar a opção (e):
.
- Olhar para
: é e é . Para somar é preciso mesmas dimensões; aqui , portanto não está definido. - Os parênteses forçam
a ser calculado antes de multiplicar por , então como não existe, não existe.
Conclusão: (e) não é possível.
Passo 8
Resumo final (explicando em uma frase firme): entre as alternativas listadas, apenas a alternativa (d) produz operações todas bem-definidas (porque
é
e pode ser somada a
que também é
); as demais falham por incompatibilidade de dimensões em alguma soma ou produto intermediário.
Resposta
d)