Se a, b, c \in \mathbb{Z} prove que
(a) Se a+c \leq b+c então a \leq b.

Passo 1

O enunciado afirma que a,b,c\in\mathbb{Z} e que
a+c \le b+c.
Queremos provar que a \le b. Para isso usaremos que \mathbb{Z} é um grupo abeliano aditivo (existe inverso e a adição preserva desigualdades).

Passo 2

Seja -c o inverso aditivo de c, isto é, c+(-c)=0. Somando -c a ambos os lados de
a+c \le b+c
obtemos
(a+c)+(-c)\le(b+c)+(-c).

Passo 3

Pela associatividade e comutatividade da adição,
(a+c)+(-c)=a+(c+(-c))=a+0=a,
(b+c)+(-c)=b+(c+(-c))=b+0=b.
Substituindo na desigualdade anterior, temos a \le b.

Resposta

a \le b

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