Se a, b, c \in \mathbb{Z} prove que
(c) Se a \leq b e c \leq 0 então a . c \geq a . b.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c\in\mathbb{Z}, que a \le b e c \le 0, e pede para provar que
a\cdot c \ge b\cdot c.
Vamos usar a ideia de multiplicar por -c\ge0 (que não inverte desigualdades) e depois por -1 (que inverte).

Passo 2

De c\le0 segue, somando -c em ambos os lados,
-c \ge 0.

Passo 3

Como -c\ge0, ao multiplicar a desigualdade a\le b por -c (número não negativo) a direção da desigualdade se mantém:
a\cdot(-c)\;\le\;b\cdot(-c).

Passo 4

Repare que
a\cdot(-c) = -\,a\,c \quad\text{e}\quad b\cdot(-c) = -\,b\,c.
Logo a desigualdade do passo anterior fica
-\,a c \;\le\;-\,b c.

Passo 5

Finalmente, multiplicamos ambos os lados de
-\,a c \le -\,b c
por -1. Isso inverte o sentido da desigualdade, resultando em
a c \;\ge\; b c,
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\displaystyle a\cdot c \ge b\cdot c quando a\le b e c\le0.

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