Se a, b \in \mathbb{Z} prove que:
(e) a^{2}=a se a=0 ou a=1

Passo 1

O enunciado diz que a é um número inteiro e pede para mostrar que a única forma de termos
a^{2} = a
é quando a=0 ou a=1. Vamos usar fato básico de fatoração em \mathbb{Z} e a propriedade do anel integral de inteiros.

Passo 2

Partimos da equação
a^{2} = a.
Subtraindo a de ambos os lados, obtemos
a^{2} - a = 0.

Passo 3

Fatoramos o lado esquerdo:
a^{2} - a = a\,(a - 1).
Logo a equação fica
a\,(a - 1) = 0.

Passo 4

Em \mathbb{Z}, que é um domínio integral, se um produto de dois inteiros é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, ou
a = 0
ou
a - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1.

Resposta

As únicas soluções inteiras de a^{2}=a são a=0 e a=1.

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