(0.4) 7. Calcule
\int_{1}^{4}|3 x-6| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \lvert 3x - 6\rvert \,dx.
O conteúdo envolvido é integrar uma função valor absoluto. Para resolver, precisamos identificar onde 3x-6 muda de sinal, dividir a integral nesse ponto e, em cada trecho, substituir \lvert 3x-6\rvert por 3x-6 ou por -(3x-6).

Passo 2

Encontramos a raiz da expressão interna:
3x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Para x\in[1,2], temos 3x-6\le0, logo \lvert 3x-6\rvert = -(3x-6)=6-3x.
Para x\in[2,4], temos 3x-6\ge0, logo \lvert 3x-6\rvert = 3x-6.
Assim,
\int_{1}^{4}\lvert 3x-6\rvert\,dx =\int_{1}^{2}(6-3x)\,dx+\int_{2}^{4}(3x-6)\,dx.

Passo 3

Calculemos a parte de 1 a 2:
\int_{1}^{2}(6-3x)\,dx =\Bigl[6x-\tfrac{3x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(12-6\bigr)-\bigl(6-\tfrac{3}{2}\bigr) =6-\tfrac{9}{2} =\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora a parte de 2 a 4:
\int_{2}^{4}(3x-6)\,dx =\Bigl[\tfrac{3x^{2}}{2}-6x\Bigr]_{2}^{4} =\bigl(24-24\bigr)-\bigl(6-12\bigr) =0-(-6) =6.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\tfrac{3}{2}+6 =\tfrac{3+12}{2} =\tfrac{15}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{15}{2}

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