Se a, b, c e k são constantes, mostre que w=(a \cos c x+b \operatorname{sen} c x) e^{-k c^{2} t} satisfaz a equação do calor \frac{\partial w}{\partial t}=k \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
w(x,t) = \bigl(a\cos(cx) + b\sin(cx)\bigr)\,e^{-k c^2 t}
satisfaz a equação do calor
\frac{\partial w}{\partial t} = k \,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}.
O que precisamos fazer é calcular \partial w/\partial t e \partial^2 w/\partial x^2 e verificar que são iguais até o fator k.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de w em relação a t. Como a, b e c são constantes, a parte dependente de t é apenas e^{-k c^2 t}. Logo,
\frac{\partial w}{\partial t} = \bigl(a\cos(cx) + b\sin(cx)\bigr)\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-k c^2 t}\bigr) = \bigl(a\cos(cx) + b\sin(cx)\bigr)\,(-k c^2)\,e^{-k c^2 t}.
Portanto,
\frac{\partial w}{\partial t} = -\,k c^2\,(a\cos(cx) + b\sin(cx))\,e^{-k c^2 t}.

Passo 3

Agora calculemos \partial^2 w/\partial x^2. Primeiro
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(a\cos(cx) + b\sin(cx)\bigr)\,e^{-k c^2 t} = \bigl(-a c\sin(cx) + b c\cos(cx)\bigr)\,e^{-k c^2 t}.
Em seguida, derivando de novo em x,
\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \frac{d}{dx}\bigl(-a c\sin(cx) + b c\cos(cx)\bigr)\,e^{-k c^2 t} = \bigl(-a c^2\cos(cx) - b c^2\sin(cx)\bigr)\,e^{-k c^2 t}.
Isto é,
\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = -\,c^2\,(a\cos(cx) + b\sin(cx))\,e^{-k c^2 t}.

Passo 4

Multiplicando \partial^2 w/\partial x^2 por k, obtemos
k\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = -\,k c^2\,(a\cos(cx) + b\sin(cx))\,e^{-k c^2 t},
que coincide exatamente com \partial w/\partial t encontrado no Passo 2.

Resposta

A igualdade
\frac{\partial w}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}
está verificada, logo w satisfaz a equação do calor.

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