Diz-se que uma função f de duas variáveis é harmônica quando satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2} f \stackrel{\text { definição }}{=} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0çã. Mostre que são harmônicas as funções:
(a) f(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y+e^{y} \cos x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x,y)=e^{x}\sin y + e^{y}\cos x
é harmônica. Lembrando que dizer que f é harmônica significa mostrar
\nabla^{2}f \;=\;\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\;=\;0.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de f em relação a x. Temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) =e^{x}\sin y \;-\;e^{y}\sin x.
Agora derivamos novamente em x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y - e^{y}\sin x\bigr) =e^{x}\sin y \;-\;e^{y}\cos x.

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de f em relação a y. Temos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) =e^{x}\cos y \;+\;e^{y}\cos x.
Então a segunda derivada em y é
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y + e^{y}\cos x\bigr) =-\,e^{x}\sin y \;+\;e^{y}\cos x.

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\bigl(e^{x}\sin y - e^{y}\cos x\bigr) +\bigl(-\,e^{x}\sin y + e^{y}\cos x\bigr) =0.
Como \nabla^{2}f=0, concluímos que f é harmônica.

Resposta

A função f(x,y)=e^{x}\sin y + e^{y}\cos x satisfaz \nabla^{2}f=0, logo é harmônica.

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