Diz-se que uma função
de duas variáveis é harmônica quando satisfaz a equação de Laplace
. Mostre que são harmônicas as funções:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
é harmônica. Lembrando que dizer que
é harmônica significa mostrar
Passo 2
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
. Temos
Agora derivamos novamente em
:
Passo 3
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
. Temos
Então a segunda derivada em
é
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas:
Como
, concluímos que
é harmônica.
Resposta
A função
satisfaz
, logo é harmônica.