Considere o problema
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=k^{2} u_{x x}, \quad 0<x<L, t>0 \\\ u(0, t)=0, \quad u_{x}(L, t)+\gamma u(L, t)=0, \quad t>0 \\\ u(x, 0)=f(x) \quad 0 \leqslant x \leqslant L \end{array}\right.
Suponha u(x, t)=X(x) T(t) e mostre que T^{\prime}+\lambda k^{2} T=0 e
X^{\prime \prime}+\lambda X=0, X(0)=0, X^{\prime}(L)+\gamma X(L)=0

Passo 1

O enunciado descreve o problema da equação do calor
u_{t}=k^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u_{x}(L,t)+\gamma\,u(L,t)=0
e condição inicial u(x,0)=f(x).
Queremos usar o método de separação de variáveis, isto é, supor
u(x,t)=X(x)\,T(t),
e descobrir as equações ordinárias satisfatórias por X e T.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) na equação do calor, obtemos
X(x)\,T'(t)=k^{2}\,X''(x)\,T(t).
Como X depende só de x e T só de t, podemos reorganizar dividindo por k^{2}X(x)T(t):
\frac{T'(t)}{k^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
O lado esquerdo varia apenas com t e o direito apenas com x, logo ambos devem ser iguais a uma mesma constante, digamos -\lambda.

Passo 3

Escolhendo a constante de separação como -\lambda, escrevemos as duas EDOs:
para T,
\frac{T'(t)}{k^{2}T(t)}=-\lambda \quad\Longrightarrow\quad T'(t)+\lambda\,k^{2}\,T(t)=0;
para X,
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda \quad\Longrightarrow\quad X''(x)+\lambda\,X(x)=0.

Passo 4

Agora traduzimos as condições de contorno em termos de X:
da condição u(0,t)=0 segue
X(0)\,T(t)=0\quad\forall t>0 \;\Longrightarrow\; X(0)=0,
e de u_{x}(L,t)+\gamma\,u(L,t)=0 segue
X'(L)\,T(t)+\gamma\,X(L)\,T(t)=0\quad\forall t>0 \;\Longrightarrow\; X'(L)+\gamma\,X(L)=0.

Resposta

As equações separadas e suas condições de contorno são
T'(t)+\lambda\,k^{2}\,T(t)=0,
X''(x)+\lambda\,X(x)=0, \quad X(0)=0, \quad X'(L)+\gamma\,X(L)=0.

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