Considere o problema
Suponha
e mostre que
e
Passo 1
O enunciado descreve o problema da equação do calor
com condições de contorno
e condição inicial
.
Queremos usar o método de separação de variáveis, isto é, supor
Queremos usar o método de separação de variáveis, isto é, supor
e descobrir as equações ordinárias satisfatórias por
e
.
Passo 2
Substituindo
na equação do calor, obtemos
Como
depende só de
e
só de
, podemos reorganizar dividindo por
:
O lado esquerdo varia apenas com
e o direito apenas com
, logo ambos devem ser iguais a uma mesma constante, digamos
.
Passo 3
Escolhendo a constante de separação como
, escrevemos as duas EDOs:
para ,
para
para
,
Passo 4
Agora traduzimos as condições de contorno em termos de
:
da condição segue
da condição
e de
segue
Resposta
As equações separadas e suas condições de contorno são